Los números eulerianos y la ecuación de Riccati

Abstract

Los números Eulerianos fueron introducidos por el matemático Leonhard Euler en su obra Institutiones calculi differentialis [Euler, 1755] con el fin de encontrar un valor explícito para la suma alternada de la n-ésima potencia de los primeros m enteros positivos. En términos de la combinatoria, el número Euleriano

n k

es definido como el número de permutaciones del conjunto f1; : : : ;ng que tienen exactamente k descensos. Estos números aparecen en distintas ramas de la matemática e.g. conjuntos parcialmente ordenados, complejos simpliciales, grupos de Coxeter, entre otras (véase [Petersen, 2015]). En este trabajo se presentan los números Eulerianos desde una perspectiva analítica. Se estudian algunas de sus propiedades y se muestra una conexión que tienen estos con la ecuación diferencial de Riccati con coeficientes constantes. El trabajo consta de tres capítulos. En el primero se presentan algunas definiciones y teoremas que ayudarán a demostrar propiedades y aplicaciones de los números Eulerianos. En el Capítulo 2 se introduce la definición combinatoria de los números Eulerianos. A partir de esto, se introducen también los polinomios eulerianos y se prueban algunos resultados que serán claves para la obtención de una fórmula para la suma alternada mencionada aquí. Por último, se mostrará una conexión entre los números Eulerianos y la ecuación diferencial de Riccati con coeficientes constantes, y se darán aplicaciones de este resultado.