Números reales y completación de espacios premétricos en matemáticas constructivas

Abstract

En 1872, Cantor y Dedekind presentaron definiciones de los números reales a partir de los números racionales, cerrando con esto un capítulo en la fundamentación del análisis matemático. Sin embargo, al adoptar un enfoque constructivo de las matemáticas, como el propuesto en las últimas décadas por Bishop y Richman, es necesario hacer una revisión de la noción de número real y de sus propiedades. En este trabajo se presenta a los números reales a través del problema de la completación métrica de los racionales sin el empleo de elección numerable. Para esto se usa el concepto de espacio premétrico introducido por Richman en el 2007, y también sus ideas generales para obtener la completación de estos espacios. Se prueba además algunos resultados como la unicidad salvo isometrías de la completación de un espacio premétrico, y un teorema de extensión de funciones uniformemente continuas entre premétricos. Después de obtener una versión métrica de los reales, se le añade a esta en el tercer capítulo, un orden parcial y una estructura algebraica. En esta última parte se propone estudiar una versión topológica del concepto de campo de Heyting, para dar un tratamiento constructivo más general de la estructura algebraica de los reales. De esta propuesta resulta que algunos anillos que no son campos, son en realidad campos de Heyting.