The void and the empty set in Alain Badiou’s mathematical ontology
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Universidad Industrial de Santander
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Descripción
The ontological status of number and other mathematical objects appears throughout the whole history of philosophy. In classical antiquity, mathematics was mainly understood as geometry, and it was specially regarded because of the axiomatization of its principles. This allows geometry to be built from a “ground zero” and through self-evident principles, which provides a foundation for its precision.
Regarding arithmetic, the same problem is deceptively simple: we use it to count with our fingers, and we may depend on the surety that there is a reason for it to work. Our intuition of small natural numbers seems to be self-evident. We always have ten fingers, and we always have five on each hand. The result of simple operation never surprises us because of its constancy. We are able to apprehend quantity at such an early stage of our cognitive development that we do not remember how we came to believe in arithmetic as if it was self-evident.
The following text will attempt to explain Alain Badiou’s interpretation of his thesis that “mathematics is ontology” through an exposition of the history of the question of the ontological status of numbers until its resolution in the twentieth century with the creation of Ernst Zermelo and Abraham Fraenkel’s axiomatic system. The exposition will be divided in three parts: the discussion of numbers as entities in Aristotle, the conception of numbers as objects in Kant and, finally, the post-Cantorian conception of numbers as sets.
El estado de los números y otros objetos matemáticos aparece a través de toda la historia de la filosofía. En la antigüedad clásica, ésta se entendía especialmente como geometría, y tenía una consideración especial a causa de la axiomatización de sus principios. Esto permite que la geometría se construya desde un piso “cero” y a partir de principios autoevidentes, lo cual la funda como un tipo de conocimiento que provee su propia exactitud. El mismo problema es engañosamente simple en lo que concierne a la aritmética: la usamos al contar con nuestros dedos, y podemos depender de la seguridad de que hay una razón para que funcione. Nuestra intuición de números naturales pequeños parece autoevidente. Siempre tenemos diez dedos y siempre tenemos cinco en cada mano. El resultado de operaciones simples nunca nos sorprende debido a su constancia. Dado que nuestra aprehensión de la cantidad comienza en una fase temprana de nuestro desarrollo cognitivo, no recordamos como llegamos a creer en la aritmética como si se probase a sí misma. El siguiente trabajo intenta explicar la interpretación de Alain Badiou según la cual la “matemática es ontología” a través de una exposición de la historia de la pregunta sobre el estado ontológico de los números hasta su resolución en el siglo veinte con la creación de la axiomática de Ernst Zermelo y Abraham Fraenkel. La exposición se dividirá en tres partes: la discusión de números como entidades en Aristóteles, la concepción de los números como objetos en Kant, y la concepción post-Cantoriana de los números como conjuntos.
El estado de los números y otros objetos matemáticos aparece a través de toda la historia de la filosofía. En la antigüedad clásica, ésta se entendía especialmente como geometría, y tenía una consideración especial a causa de la axiomatización de sus principios. Esto permite que la geometría se construya desde un piso “cero” y a partir de principios autoevidentes, lo cual la funda como un tipo de conocimiento que provee su propia exactitud. El mismo problema es engañosamente simple en lo que concierne a la aritmética: la usamos al contar con nuestros dedos, y podemos depender de la seguridad de que hay una razón para que funcione. Nuestra intuición de números naturales pequeños parece autoevidente. Siempre tenemos diez dedos y siempre tenemos cinco en cada mano. El resultado de operaciones simples nunca nos sorprende debido a su constancia. Dado que nuestra aprehensión de la cantidad comienza en una fase temprana de nuestro desarrollo cognitivo, no recordamos como llegamos a creer en la aritmética como si se probase a sí misma. El siguiente trabajo intenta explicar la interpretación de Alain Badiou según la cual la “matemática es ontología” a través de una exposición de la historia de la pregunta sobre el estado ontológico de los números hasta su resolución en el siglo veinte con la creación de la axiomática de Ernst Zermelo y Abraham Fraenkel. La exposición se dividirá en tres partes: la discusión de números como entidades en Aristóteles, la concepción de los números como objetos en Kant, y la concepción post-Cantoriana de los números como conjuntos.