La propiedad de Baire en ideales sobre N - Hernández Tunubalá, Jhan Hadder (Universidad Industrial de Santander, 2025)
Un ideal sobre un conjunto S es una colección de subconjuntos de S que tiene al conjunto vacío y es cerrada bajo subconjuntos y uniones finitas. Dado un espacio topológico X, se dice que A ⊆ X tiene la propiedad de Baire, si existe un abierto U , tal que su diferencia simétrica con A es un conjunto magro (i.e, una unión numerable de conjuntos densos en ninguna parte). Un ultrafiltro sobre S es la noción dual de ideal. Si dotamos al conjunto 2^X con la topología producto, entonces podemos pensar a los ideales y ultrafiltros sobre X como subconjuntos de 2X , y estudiar si poseen la propiedad de Baire. En esta tesis nos enfocamos en el caso X = N, es decir, estudiamos la propiedad de Baire en ideales (y ultrafiltros) dentro del espacio de Cantor 2^N. En primer lugar, presentamos una caracterización de cuando un ideal sobre N tiene la propiedad de Baire, resultado que se conoce como el Teorema de Jalali-Naini. Posteriormente, demostramos el teorema de Plewik que establece que las intersecciones y uniones de una cantidad menor al continuo de ultrafiltros libres sobre no tienen la propiedad de Baire. Finalmente, exploramos una aplicación de estos resultados en el contexto de teoremas de partición tipo Hindman.
The Baire property in ideals on N
Keywords: IDEALES; ULTRAFILTROS; PROPIEDAD DE BAIRE; ESPACIO DE CANTOR; TEOREMA DE JALALI-NAINI-TALAGRAN; TEOREMA DE JALALI-NAINI&TALAGRAND; IDEALS; ULTRAFILTERS; BAIRE PROPERTY; CANTOR SPACE; THEOREM OF JALALI-NAINI&TALAGRAND; HINDMAN'S TYPE THEOREMS