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El grupo de clase de un anillo de enteros algebraicos

Resumen

La teoría algebraica de números es una rama de la teoría de números que a través del algebra abstracta estudia los números enteros, racionales y generalizaciones de estos, como por ejemplo el anillo de los enteros algebraicos de una extensión de cuerpos finita de $\mathbb{Q}$. Históricamente, estos anillos han sido una herramienta para resolver ecuaciones diofánticas y otros problemas relacionados con los números enteros. A partir de estos anillos se definen algunos conceptos que ayudan a entender sus propiedades, entre estos el grupo de clase. En el primer capítulo, repasaremos algunos resultados y conceptos del algebra abstracta, a su vez definiremos algunas aplicaciones para Q las cuales son importantes para el desarrollo del escrito. En el siguiente capítulo primeramente se introduce el concepto de entero algebraico para luego definir el anillo de enteros algebraicos y mencionar algunas de sus propiedades. Luego definiremos el concepto de ideal fraccionario, para así poder demostrar que la colección de ideales de un anillo de enteros algebraicos posee factorización única en ideales primos. Por último, definiremos el grupo de clase. Mostraremos que es finito y algunas de sus aplicaciones como ayudar a solucionar ecuaciones diofánticas y encontrar un ejemplo de un dominio de ideales principales que no sea euclídeo.