Escuela de Matemáticas

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Acercamiento al proceso de demostración en el grado noveno en un ambiente de geometría dinámica
(Universidad Industrial de Santander, 2020) Martínez Aparicio, Sergio Andrés; Fiallo Leal, Jorge Enrique
El estudio que se realizó tuvo como objetivo diseñar e implementar una secuencia de problemas de construcción geométrica en un entorno de geometría dinámica, enfocándola al desarrollo de habilidades de demostración en estudiantes de noveno grado. La metodología empleada fue cualitativa por cuanto fue un estudio elaborado directamente en un aula virtual de clase, en el que se analizaron y categorizaron los argumentos que usaron los estudiantes de noveno grado al realizar problemas de construcciones geométricas un ambiente de geometría dinámica mediado por el software GeoGebra. El estudio se llevó a cabo con 10 estudiantes del Instituto Técnico Aquileo Parra, ubicado en el municipio de Barichara. El desarrollo de esta investigación se dio en tres fases: la fase diagnostica, la fase de diseño e implementación de la propuesta didáctica y la fase referente al procesamiento de la información recolectada. En cada una de las fases del diseño se pudo evidenciar tanto fortalezas como debilidades de los estudiantes al tener que justificar sus planteamientos en la fase diagnóstica inicial, construcciones correctas en la que no se justificaba el porqué estaba bien o con argumentos que hacían referencia a la función de arrastre del software. Se evidenció la importancia del papel que desempeña el software como mediador interactivo e inteligente, puesto que permite una exploración de propiedades invariantes que redunda en el desarrollo del pensamiento deductivo. Finalmente se concluyó que es posible potenciar el desarrollo de las habilidades de demostración en estudiantes de noveno grado, cuando solucionan problemas
Caracterización de los niveles de razonamiento de van hiele específicos a los procesos de descripción, definición y demostración en el aprendizaje de las razones trigonométricas
(Universidad Industrial de Santander, 2013) Algarín Torres, Danny Luz; Fiallo Leal, Jorge Enrique
La presente investigación fue desarrollada durante el primer semestre de 2013 con estudiantes de décimo grado de la Institución Educativa Luis Carlos Galán Sarmiento de Bucaramanga, cuyo objetivo era: Caracterizar los niveles de razonamiento de Van Hiele específicos a los procesos de descripción, definición y demostración en el tema de las razones trigonométricas. El marco conceptual de la investigación se fundamentó en los procesos matemáticos de descripción, definición y demostración, entendidos como actividades cognitivas relacionadas con la comprensión y uso de los conocimientos en el tema de las Razones Trigonométricas, se partió de la utilización de una unidad de enseñanza en un sistema de geometría dinámica (SGD) y del modelo de Van Hiele, que permitió analizar la evolución del razonamiento de los estudiantes. En una primera etapa de la investigación, se elaboró una caracterización a priori de los procesos, enmarcados en cada uno de los niveles de Van Hiele, y se diseñó la unidad de enseñanza de las razones trigonométricas. La implementación de la unidad permitió obtener los datos cualitativos, que fueron analizados para perfeccionar la caracterización inicial de los descriptores de los niveles, esto se realizó con base en las actuaciones y trabajos de los estudiantes en cada una de las tareas y actividades planteadas en la unidad de enseñanza. La principal conclusión del trabajo se constituyó en la construcción del listado de descriptores de los niveles de razonamiento de Van Hiele específicos a los procesos de descripción, definición y demostración en el aprendizaje de las razones trigonométricas.
Contribuciones de la modelación matemática al estudio del concepto de integral
(Universidad Industrial de Santander, 2022-04-01) Toloza Peña, Shirley Johana; Fiallo Leal, Jorge Enrique; Hitt Espinosa, Fernando; Parada Rico, Sandra Evely
En este documento presentamos resultados de una investigación de corte didáctico, que tuvo como objetivo: reconocer las contribuciones de la modelación matemática de problemas auténticos en el estudio del concepto de integral. Para lograr el objetivo, se utilizaron elementos teóricos de la modelación matemática desde la didáctica; estos elementos nos permitieron diseñar, implementar y evaluar problemas auténticos: descarga de un archivo, comportamiento de trasmisión de un virus y modelación del área bajo la curva de una función potencia. Estos problemas involucraron en su solución el concepto de integral y estuvieron relacionados con la vida cotidiana de los participantes. A partir de los datos recogidos y su respectivo análisis, se reconocieron cuatro contribuciones de la modelación matemática para el estudio del concepto de integral: Modelación matemática de un problema auténtico como desencadenador de motivación, Modelación matemática de un problema auténtico como desencadenador de modelos del concepto de integral, Significados asociados al concepto de integral y por último Modelación y tecnología en el estudio del concepto de integral. Finalmente, con los resultados encontrados en esta investigación se espera sean útiles a estudiantes, profesores e instituciones de educación superior.
Diseñ o de situaciones a-didacticas para el aprendizaje de la derivada como razon de cambio mediante el uso de softwarw matematico interactivo
(Universidad Industrial de Santander, 2019) Rodriguez Santamaria, Giovanni; Fiallo Leal, Jorge Enrique
Diversas investigaciones muestran que la enseñanza de la derivada sigue siendo un compendio de desarrollos algebraicos y memorísticos que no están ligados a la comprensión del concepto fundamental como la razón de cambio de una magnitud de interés. Presentamos una propuesta de investigación cuyo interés es favorecer el aprendizaje de la derivada como razón de cambio explorando diferentes representaciones simuladas por software de geometría dinámica (SGD). Diseñamos bajo la teoría de las situaciones didácticas (TSD) (Brousseau, 2007), actividades en Geogebra, con las cuales los estudiantes interactúan para lograr aprendizaje por adaptación. Tomamos como base para el diseño referentes epistemológicos acerca de la derivada y las sugerencias de la comunidad internacional sobre el uso de diferentes tipos de representaciones para la enseñanza de objetos matemáticos. Utilizamos tres fases de una ingeniería didáctica como metodología para el desarrollo de la investigación, el análisis preliminar de la literatura para revisar los obstáculos de enseñanza y así plantear diversas actividades basadas en el uso del cociente de diferencias; el análisis a priori para predecir posibles acciones, selecciones y decisiones del estudiante al interactuar con el medio preparado, y una tercera fase de experimentación para evidenciar que las actividades programadas en Javascripting generan retroacciones que favorecen el uso de la razón de cambio y de diferentes representaciones. Concluimos que nuestro trabajo tiene el potencial de mejorar la comprensión de la derivada como razón de cambio a partir del desarrollo situaciones a-didácticas, creando un medio que permite diferentes tipos de acciones y retroacciones, ambientadas bajo diferentes representaciones del mismo ente matemático en las que no priorizamos el uso de la representación algebraica y las reglas de derivación para resolver problemas.
Estudio de la construcción de pasos de razonamiento en el proceso de justificación teórica en la resolución de problemas de geometría
(Universidad Industrial de Santander, 2016) Berrio Valbuena, Jesus David; Fiallo Leal, Jorge Enrique; Acosta Gempeler, Martín Eduardo
Este trabajo de investigación estudia el uso de un software matemático computacional llamado asistente de demostración, este software es utilizado en la actividad de exploración de teoremas, definiciones y postulados de la geometría euclidiana, en el proceso de construcción de demostraciones deductivas formales por estudiantes de un curso de geometría euclidiana de la carrera de Licenciatura en Matemáticas de la Universidad Industrial de Santander. Planteamos la hipótesis de investigación asistente de demostración, caracterizado por procesos de razonamiento deductivo y abductivo, se irá transformando . Para obtener información que nos permitiera vislumbrar evidencias para verificar o falsar nuestra ión de la teoría. Mostramos el análisis a priori como el camino de ideal de solución de tres problemas de construcción y demostración, y el análisis a posteriori (análisis a posteriori local por estudiante, análisis a posteriori local por cada una de las tres intervenciones y análisis a posteriori global) de los resultados de la aplicación de los tres problemas de demostración. Los análisis practicados y la aplicación de doce entrevistas clínicas, permitieron identificar y caracterizar algunos de los usos dados al asistente de demostración por los estudiantes durante el planteamiento de la conjetura y la construcción de una justificación teórica para cada problema, así como también los momentos en los cuales se abandona el uso de este software.
Estudio del proceso de argumentación y demostración por inducción matemática en un curso de teoría de números
(Universidad Industrial de Santander, 2023-08-22) Herrera Alfaro, José Ricardo; Fiallo Leal, Jorge Enrique; Jaramillo López, Carlos Mario; Roa Fuentes, Dora Solange
Se reporta una investigación de diseño de un experimento de enseñanza que tuvo como objetivo Analizar la construcción de significado del Principio de Inducción Matemática mediante la construcción de una unidad de enseñanza dirigida estudiantes que inician un curso de Teoría de Números en la Universidad Industrial de Santander. Para dar sustento teórico y metodológico a esta investigación se usó una herramienta de análisis y un marco conceptual que analiza unidad o ruptura cognitiva (Garuti et al., 1996), del proceso de argumentación desde el punto de vista estructural y referencial (Fiallo, 2011; Pedemonte, 2005; Pedemonte & Balacheff, 2016) entre los procesos de planteamiento de conjeturas y construcción de demostraciones; estos elementos permitieron identificar las dificultades y errores presentes en los dos procesos. Para alcanzar el objetivo de investigación se tomó como punto de partida una conjetura que gira en torno a mitigar las dificultades de aprendizaje de Principio de inducción matemática, se diseñó e implementó la unidad de enseñanza y se analizó cómo esta unidad promueve la comprensión del PIM. Entre los resultados obtenidos en la investigación se encontró que el estudiante necesita realizar procesos de generalización de patrones y planteamientos de sus propias conjeturas para propiciar la construcción del significado de la estructura del PIM. Y para posibilitar este proceso se debe transitar por etapas o núcleos conceptuales de temas en matemáticas en los que el PIM es aplicable.
Habilidades cognitivas asociadas al proceso de representación de fenómenos de variación
(Universidad Industrial de Santander, 2016) Rueda Rueda, Nelson Javier; Parada Rico, Sandra Evely; Fiallo Leal, Jorge Enrique
En este documento presentamos los resultados de una investigación de corte fenomenológico experimental que surgió a partir del desarrollo de una alternativa curricular preventiva para la problemática del bajo rendimiento de los estudiantes en la asignatura Cálculo I en la Universidad Industrial de Santander. La investigación se lleva a cabo en un curso no tradicional de pre-cálculo, dirigido a estudiantes de primer ingreso a la universidad. En esta investigación nos propusimos caracterizar habilidades cognitivas asociadas al proceso de representación de fenómenos de variación que pueden potenciarse mediante la resolución de problemas, en un curso de pre-cálculo mediado por tecnologías digitales. Inicialmente y teniendo en cuenta las actividades que se desarrollaron en el curso, se plantearon cinco habilidades cognitivas asociadas al proceso de representación: i) el reconocimiento, ii) la interpretación, iii) la construcción, iv) la transformación y v) la coordinación. El trabajo experimental se llevó a cabo durante dos semestres académicos en los que se video-grabaron dos casos de estudio y se recogieron sus producciones escritas. A partir de las evidencias encontradas y analizadas se caracterizan las cinco habilidades planteadas a priori y se desarrolla un marco conceptual en el que se identifican cinco registros de representación que son utilizados por el estudiante al momento de representar un objeto matemático: i) el simbólico motriz, ii) el lenguaje natural, iii) el tabular, iv) el algebraico y v) el gráfico. A partir de los resultados encontrados en esta investigación se espera contribuir al desarrollo teórico de la Educación Matemática, así como afianzar una estructura curricular para el curso de pre-cálculo en el cual la investigación ha sido llevada a cabo.
La comprensión de la derivada como razón de cambio: habilidades cognitivas vinculadas al estudio covariacional
(Universidad Industrial de Santander, 2020) Rodríguez Plata, Cesar Augusto; Fiallo Leal, Jorge Enrique; Mendoza Higuera, Edith Johanna
Literatura referente a la enseñanza y aprendizaje de la derivada en educación matemática reporta que los estudiantes presentan dificultades cuando resuelven problemas de cambio y variación; esta experiencia muestra que algunos estudiantes que asisten al curso de cálculo diferencial de la Universidad Industrial de Santander no son ajenos a esta problemática. Para atender a esta problemática, se plantea como objetivo: caracterizar las habilidades cognitivas asociadas a los procesos matemáticos del razonamiento covariacional, para la comprensión de la derivada como razón de cambio en estudiantes de cálculo diferencial. Con base en las perspectivas teóricas del razonamiento covariacional, el estudio dinámico del cambio y la variación y de la metodología de entrevistas basadas en tareas, se estructura el diseño e implementación de cuatro actividades que direccionan la solución a una situación problema que involucra la derivada. A partir de los datos recogidos y su respectivo análisis, se caracterizan las habilidades cognitivas planteadas a priori. Se destaca la relación entre las habilidades y se describen mediante sus diferentes representaciones. En este sentido, podemos afirmar, en general, que las habilidades y los correspondientes descriptores asociados a los procesos matemáticos deben ser vistos como complementarios y los comportamientos que se exponen aluden en torno a la representación física de la derivada como velocidad. Finalmente, con los resultados encontrados en esta investigación se espera contribuir a la teorización de los aprendizajes en los estudiantes a través de dicho curso y, especialmente, aportar al solventar la problemática de la enseñanza y el aprendizaje del cálculo.
Matematización del teorema fundamental del cálculo con el uso de tecnologías digitales
(Universidad Industrial de Santander, 2019) Jácome Anaya, Ingrid Janeth; Fiallo Leal, Jorge Enrique
En este documento presentamos resultados de una investigación de corte didáctico y cognitivo, la cual tuvo como objetivo específico diseñar, implementar y evaluar una secuencia de tareas que permita caracterizar los niveles de matematización logrados por estudiantes de un curso de cálculo integral sobre el Teorema Fundamental del Cálculo (TFC) con el uso de tecnologías digitales. Para lograr el objetivo, se utilizaron elementos de la Teoría de la Educación Matemática Realista la cual, por medio del Análisis Fenomenológico Didáctico del TFC nos permitió diseñar la secuencia de tareas enmarcadas en dos fenómenos, promoviendo los principios de reinvención guiada e interacción, así como el posterior análisis de la matematización del TFC lograda por los estudiantes en los tres primeros niveles, Situacional, Referencial y General. En esta investigación se realizó la caracterización a priori de los tres primeros niveles de matematización del TFC, con el fin de que estos descriptores fueran los lentes teóricos para analizar la matematización del objeto matemático de estudio asociado a la secuencia de tareas diseñadas. Finalmente, esta investigación además de caracterizar los niveles de matematización del TFC, propone una secuencia de actividades que pueda ser usada por profesores de educación superior en las aulas de clase para favorecer la comprensión del TFC.
Significados de la demostración en una comunidad de practica de clase de profesores de matemáticas en formación
(Universidad Industrial de Santander, 2020) Amaya Sánchez, Edwin Andrés; Fiallo Leal, Jorge Enrique
En este documento presentamos resultados de una investigación que tuvo como objetivo caracterizar los significados negociados por una comunidad de práctica de clase de profesores de matemáticas en formación, que participan en un curso de didáctica del cálculo y que reflexionan sobre el proceso de la demostración. Para lograr el objetivo, se utilizaron elementos de la teoría de la práctica social de Wenger (2001), atendiendo al concepto de comunidad de práctica, vista también en el sentido de Clark (2005) como comunidad de práctica de clase, por su fundamentación metodológica. Entre los elementos más destacados que usamos de la teoría, está la negociación de significados, que para esta investigación tienen relación directa con la demostración, teniendo en cuenta sus tipos, funciones y significados. Las principales fuentes de información fueron las respuestas a los talleres diseñados, los ensayos, los encuentros y los artefactos documentales (notas de campo del investigador, registros de audio y video de algunas sesiones). En el análisis de los datos obtenidos de los significados de la demostración negociados por los profesores en formación, se evidenció que estos son en gran parte dados por la experiencia que han tenido en su trayectoria académica (secundaria y primeros niveles universitarios). Además, se encontró que esos significados responden en algunos aspectos relacionados con una concepción estrictamente formalista de la demostración y en otros casos a una visión amplia acerca de la misma, lo cual aporta en prestar especial atención a la generación de comunidades de práctica donde se fortalezca la formación de profesores y la reflexión en el uso de la demostración en el aula. 1
Situaciones adidácticas para la enseñanza de la homotecia usando cabri elem como medio
(Universidad Industrial de Santander, 2017) Perez Fernandez, Luis Angel; Fiallo Leal, Jorge Enrique; Acosta Gempeler, Martín Eduardo
Investigamos el potencial del software Cabri Elem para desarrollar conocimiento matemático. Éste a diferencia de otros software de geometría dinámica, además de las retroacciones matemáticas, ofrece herramientas que permiten programar otras retroacciones: mostrar un texto; resaltar, mostrar, ocultar o impedir el arrastre de uno o más objetos; enviar a otra tarea; decidir cuáles herramientas ofrecer al alumno y cuándo mostrarlas; etc. Para caracterizar estas nuevas herramientas usamos la Teoría de las Situaciones Didácticas, considerando Cabri Elem un medio material con el cual interactúan los alumnos. Esto nos llevó a distinguir retroacciones matemáticas y retroacciones didácticas; las primeras son respuestas naturales de la geometría dinámica que obedecen a la teoría matemática, mientras que las segundas son aquellas que usamos para darle al medio una configuración determinada y obtener un modelo de interacción con el fin de producir el aprendizaje por adaptación. Como resultados de la investigación, presentamos una ingeniería didáctica, que consta de un análisis preliminar del diseño, desde las dimensiones epistemológica, cognitiva y didáctica; un análisis a priori, en el que se describe el rol de las retroacciones didácticas en el diseño de situaciones, con el objetivo de producir aprendizaje por adaptación; un análisis a posteriori a partir de un pilotaje con una pareja de alumnos de noveno grado, los cuales habían usado el software de geometría dinámica Cabri II plus con anterioridad, durante un proceso de instrucción basado en la Teoría de las Situaciones Didácticas, desde sexto hasta octavo grado. 1
Tipos de demostraciones que realizan estudiantes en un curso de precálculo
(Universidad Industrial de Santander, 2020) Antonio Osma, Marilyn Lizeth; Fiallo Leal, Jorge Enrique
En el presente documento se identifican algunos tipos de demostraciones que logran realizar estudiantes de nuevo ingreso a la universidad en la resolución de problemas de variación, aproximación y tendencia dentro de un curso de Precálculo mediado por el software de matemática interactiva Geogebra, donde se asume la demostración como un proceso que incluye todos los argumentos planteados por los estudiantes para explicar, verificar justificar o validar con miras a convencerse a sí mismo, a otros estudiantes y al profesor de la veracidad de una afirmación matemática (Fiallo, 2011), para ello se distinguen 5 tipos de demostración empírica o inductiva (Empirismo Ingenuo inductivo, Experimento Crucial Basado en el Ejemplo, Experimento Crucial Constructivo, Ejemplo Genérico Analítico y Ejemplo Genérico Intelectual) y 4 de demostración deductiva (Experimento Mental Transformativo, Experimento Mental Estructural, Deductiva Formal Transformativa y Deductiva Formal Estructurada). La argumentación y la demostración son procesos propuestos desde los lineamientos nacionales y los estándares internacionales, se plantean para la educación básica y media, y coinciden en que los estudiantes al iniciar la vida universitaria deberían realizar demostraciones deductivas formales, pero la realidad es otra, dado que un gran porcentaje de los estudiantes colombianos justifican sus razonamientos haciendo uso de ejemplos, lo que indica que sus razonamientos son de tipo empírico. En esta investigación se evidenciará que los estudiantes que inician su vida universitaria hacen uso de ejemplos para sustentar sus conjeturas, lo que nos lleva a concluir que las demostraciones que los estudiantes logran realizar dentro del curso de precálculo ofrecido por la Universidad Industrial de Santander son únicamente de tipo empírico.

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