Escuela de Matemáticas

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Acciones de grupos profinitos sobre espacios profinitos
(Universidad Industrial de Santander, 2022-04-01) Villamizar Tarazona, Andrés Yamith; Pinedo Tapia, Héctor Edonis; Camargo García, Javier Enrique; Hernández Arzusa, Julio César
Sean I un conjunto dirigido y C una categoría. En el marco de la teoría de categorías, una clásica construcción es el llamado límite inverso asociado a un sistema inverso indizado por I; en particular, un espacio profinito X se define como el límite inverso de un sistema inverso conformado por espacios topológicos finitos y discretos, o de manera equivalente como se expresa en (Magid, 2014, p. 50), X es un espacio compacto, Hausdorff y totalmente disconexo. Adicionalmente, un grupo topológico G es un grupo profinito si visto como espacio topológico es profinito. Uno de los objetivos de este trabajo es analizar la estrecha relación que existe entre los grupos profinitos y la Teoría de Galois. Por otro lado, el concepto de acción parcial de grupo nace en el contexto de las C^*-álgebras, en medio de los trabajos realizados por el matemático brasileño Ruy Exel, sin embargo, la idea de acción parcial de un grupo sobre un conjunto fue introducida en (Exel, 1998), y generaliza la noción de acción de grupo. Sea G un grupo y \varphi una acción de G sobre un espacio topológico X. La relación de órbita asociada a \varphi, junto con el espacio de órbitas (usualmente denotado por X/G) y la proyección \ps_G:G : X\rightarrow X/G, son conceptos destacados en el estudio de las acciones de grupo. Este trabajo se enfoca por un lado en estudiar condiciones establecidas en (Magid, 2014, Section 2.4), bajo las cuales X/G es profinito, y para que la proyección G admita secciones continuas; por otro lado, el interés es presentar formalmente las acciones parciales de grupo y extender al contexto parcial los resultados analizados en (Magid, 2014, Section 2.4).
Acciones parciales y c*-algebras
(Universidad Industrial de Santander, 2020) Ramírez Ardila, Edwar Alexis; Pinedo Tapia, Hector Edonis
Este trabajo consiste principalmente en estudiar las acciones parciales en el contexto de los espacios topológicos localmente compactos Hausdorff y de las C -álgebras, así como la construcción del producto cruzado asociado a un sistema dinámico parcial LCH. En el primer capítulo se hace un breve estudio de la teoría de C -álgebras y del importante teorema de representación de Gelfand. En el segundo capítulo se definen e ilustran algunos conceptos básicos en la teoría de sistemas dinámicos parciales topológicos y en C -álgebras, también se presentará la relación que existe entre estos. Por último, se mostrará la construcción del producto cruzado asociado a un C -sistema dinámico parcial y su relación con las C -álgebras graduadas. En el último capítulo se mostrará, a partir de la relación que existe entre los sistemas dinámicos parciales LCH y los C -sistemas dinámicos parciales, una posible forma de extender el mecanismo de Gelfand a unas categorías mas generales. Presentaremos el semigrupo de Éxel y su utilidad en el estudio de las C -álgebras graduadas, junto con algunas preguntas que personalmente fueron de gran relevancia en el estudio de esta temática.
Acciones parciales y el problema de globalización
(Universidad Industrial de Santander, 2017) Gomez Rios, Jorge Eliecer; Pinedo Tapia, Héctor Edonis; Uzcátegui Aylwin, Carlos Enrique
En 1998, R. Exel [12] introdujo la noción de acción parcial de un grupo sobre un conjunto como una generalización de las acciones globales. La importancia de este concepto se fundamenta en su aplicabilidad a varias áreas de las matemáticas. En particular, esta noción ha sido usada para extender resultados clásicos en topología, sistemas dinámicos, espacios métricos, anillos, entre otros. En este trabajo estudiamos acciones parciales topológicas, esto es, acciones parciales de grupos topológicos, sobre espacios topológicos. Específicamente extendemos algunos resultados conocidos para acciones globales al contexto de acciones parciales, tales como la equivalencia de la continuidad conjunta y la continuidad separada en espacios Polacos, el clásico principio de la función abierta y los teoremas de Effros. También estudiamos uno de los problemas centrales en acciones parciales conocido como el problema de globalización, el cual consiste en que dada una acción parcial m de un grupo G en un objeto X de una categoría, determinar si existe una acción global β de G en un objeto Y de la misma categoría (llamado espacio envolvente de X), tal que la restricción de β a X sea m. En particular, mostramos algunos aspectos teóricos relacionados con este problema, tales como los detalles de la construcción de una globalización para acciones parciales topológicas continuas con dominio abierto y estudiamos algunos resultados referentes a los axiomas de separación del espacio envolvente. Finalmente, dada una acción parcial topológica m : G ∗ X → X, en el Apéndice A, mostramos la construcción de una acción parcial topológica del grupo universal de Hausdorff G/E, en X, donde E = {1}, es la clausura topológica de elemento neutro de G.
Acciones parciales y teoría de Galois
(Universidad Industrial de Santander, 2018) Cañas Perez, Andres Sebastian; Pinedo Tapia, Hector Edonis
El presente trabajo de grado expone la teoría de Galois de anillos conmutativos y la teoría de Galois parcial de anillos conmutativos, las cuales son generalizaciones de la teoría de Galois sobre cuerpos. Estas teorías se basan en el concepto de extensiones de anillos y acciones parciales de un grupo sobre álgebras. Dado R un anillo, se dice que S es una extensión de R si S es un R-módulo fiel, y por otra parte se asigna un grupo G, el cual va a estar actuando global o parcialmente sobre S, dependiendo el contexto. En particular, se estudian las extensiones de Galois sobre un anillo conmutativo grupo de Galois G, acciones parciales de grupos sobre álgebras, globalizaciones de acciones parciales y extensiones de Galois parciales sobre un anillo conmutativo dada una acción parcial α. En este trabajo se encuentran los resultados más importantes de estas teorías, las cuales son, entre otras, las condiciones para que una acción parcial admita una globalización, la relación entre extensiones de Galois globales y extensiones de Galois parciales, y los respectivos teoremas de correspondencia. Adicional a lo anterior, a partir de estas definiciones y resultados se detalla la construcción de estructuras, como el grupo de Harrison y el semigrupo inverso de Harrison, los cuales son, respectivamente, conjuntos de clases de equivalencia de las extensiones de Galois y extensiones de Galois parciales de un anillo R y un grupo abeliano G fijos.
Acercamiento al proceso de demostración en el grado noveno en un ambiente de geometría dinámica
(Universidad Industrial de Santander, 2020) Martínez Aparicio, Sergio Andrés; Fiallo Leal, Jorge Enrique
El estudio que se realizó tuvo como objetivo diseñar e implementar una secuencia de problemas de construcción geométrica en un entorno de geometría dinámica, enfocándola al desarrollo de habilidades de demostración en estudiantes de noveno grado. La metodología empleada fue cualitativa por cuanto fue un estudio elaborado directamente en un aula virtual de clase, en el que se analizaron y categorizaron los argumentos que usaron los estudiantes de noveno grado al realizar problemas de construcciones geométricas un ambiente de geometría dinámica mediado por el software GeoGebra. El estudio se llevó a cabo con 10 estudiantes del Instituto Técnico Aquileo Parra, ubicado en el municipio de Barichara. El desarrollo de esta investigación se dio en tres fases: la fase diagnostica, la fase de diseño e implementación de la propuesta didáctica y la fase referente al procesamiento de la información recolectada. En cada una de las fases del diseño se pudo evidenciar tanto fortalezas como debilidades de los estudiantes al tener que justificar sus planteamientos en la fase diagnóstica inicial, construcciones correctas en la que no se justificaba el porqué estaba bien o con argumentos que hacían referencia a la función de arrastre del software. Se evidenció la importancia del papel que desempeña el software como mediador interactivo e inteligente, puesto que permite una exploración de propiedades invariantes que redunda en el desarrollo del pensamiento deductivo. Finalmente se concluyó que es posible potenciar el desarrollo de las habilidades de demostración en estudiantes de noveno grado, cuando solucionan problemas
Análisis numérico de un sistema tipo Allen-Cahn-Navier-Stokes para fluidos no-isotérmicos
(Universidad Industrial de Santander, 2024-01-29) Rueda Fernández, Elián Esteban; Rueda Gómez, Diego Armando; Villamizar Roa, Élder Jesús; Arenas Díaz, Gilberto; Cabrales, Roberto Carlos
El presente trabajo se enfoca en el análisis numérico para un modelo no isotérmico de interfaz difusa, en dimensiones N=2, 3, que describe el movimiento de una mezcla de dos fluidos viscosos incompresibles. Este modelo corresponde a un acoplamiento entre las ecuaciones de Navier-Stokes, una ecuación de campo de fase dada por el modelo de Allen-Cahn convectivo, y una ecuación de transporte de energía para la temperatura; este sistema admite una ley de energía disipativa. Proponemos un esquema numérico energéticamente estable basado en el método de los elementos finitos, y analizamos estimaciones óptimas de error en normas débiles y fuertes, así como la convergencia hacia soluciones regulares. Para construir el esquema numérico, introducimos dos variables auxiliares (dadas por el gradiente de la temperatura y la variación de la energía respecto a la función campo-fase) que permiten controlar la regularidad fuerte requerida por el modelo, que es una de las principales dificultades que aparecen desde el punto de vista numérico. Teniendo en cuenta la formulación equivalente, consideramos un esquema de aproximación completamente discreto (usando elementos finitos en espacio y diferencias finitas en tiempo) que está bien planteado, que es energéticamente estable (en el sentido de que satisface una ley de energía discreta disipativa) y que satisface un conjunto de estimaciones uniformes que permiten analizar la convergencia hacia las soluciones fuertes del sistema diferencial. Finalmente, presentamos algunas simulaciones numéricas para validar numéricamente los resultados teóricos.
Análisis teórico de la ecuación KdV con coeficientes dependientes del tiempo
(Universidad Industrial de Santander, 2023-06-01) Rueda Niño, José Camilo; Arenas Díaz, Gilberto; Loaiza Motato, Gerardo Arturo; Pipicano Guzmán, Felipe Alexander; López Ríos, Juan Carlos
El presente proyecto de investigación se enmarca en la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales dispersivas no lineales y la teoría cuasilineal de Kato. Se considera una ecuación KdV unidimensional con coeficientes dependientes del tiempo y se demuestra, considerando condiciones generales sobre los coeficientes, la buena colocación local del problema de Cauchy. Adicionalmente, para este mismo problema, se logran probar tres leyes de conservación.
Análisis teórico de las ecuaciones diferenciales difusas de orden fraccionario
(Universidad Industrial de Santander, 2021) Contreras Páez, Duván Alexis; Villamizar Roa, Elder Jesús; Arenas Díaz, Gilberto; Pérez López, Jhean Eleison; Herrón Osorio, Sigifredo de Jesús
El estudio de ecuaciones diferenciales fraccionarias constituye un campo de creciente interés, no solo desde el punto de vista teórico, sino también debido a su aplicabilidad al análisis de fenómenos de las ciencias físicas y naturales. Su formalización se caracteriza por la sustitución de derivadas clásicas por derivadas de orden fraccionario. Por otro lado, las ecuaciones diferenciales difusas se propusieron como un intento de manejar la incertidumbre que aparece en muchos modelos matemáticos de algunos fenómenos no deterministas del mundo real en los que predomina la incertidumbre, la subjetividad o la vaguedad. En esta tesis, además de disertar sobre la fundamentación teórica del cálculo fraccionario, se analiza la existencia de soluciones de problemas de valor inicial en el contexto fraccionario, que incluyen fenómenos de retardo. Explícitamente, considerando la derivada generalizada difusa de Caputo-Katugampola, se demuestran algunos resultados de existencia y unicidad vía teoremas de punto fijo de funciones débilmente contractivas sobre espacios métricos parcialmente ordenados.
Análisis teórico de las ecuaciones diferenciales difusas de orden fraccionario
(Universidad Industrial de Santander, 2021) Contreras Páez, Duván Alexis; Arenas Díaz, Gilberto; Villamizar Roa, Elder Jesús
El estudio de ecuaciones diferenciales fraccionarias constituye un campo de creciente interés, nosolo desde el punto de vista teórico, sino también debido a su aplicabilidad al análisis de fenómenosde las ciencias físicas y naturales. Su formalización se caracteriza por la sustitución de derivadasclásicas por derivadas de orden fraccionario. Por otro lado, las ecuaciones diferenciales difusas sepropusieron como un intento de manejar la incertidumbre que aparece en muchos modelos matemáticos de algunos fenómenos no deterministas del mundo real en los que predomina la incertidumbre,la subjetividad o la vaguedad. En esta tesis, además de disertar sobre la fundamentación teórica delcálculo fraccionario, se analiza la existencia de soluciones de problemas de valor inicial en el contextofraccionario, que incluyen fenómenos de retardo. Explícitamente, considerando la derivada generalizada difusa de Caputo-Katugampola, se demuestran algunos resultados de existencia y unicidad víateoremas de punto fijo de funciones débilmente contractivas sobre espacios métricos parcialmente ordenados.
Anillos de Hermite. La recta proyectiva
(Universidad Industrial de Santander, 2021) Contreras Mendoza, Astrid Liliana; Granados Pinzón, Claudia Inés; Pinedo Tapia, Héctor Edonis; García Martínez, Sandra Carolina
Los trabajos de Quillen y Suslin sobre la conjetura de la fila unimodular de Serre, abre el campo a los llamados por (Lam, 2010) anillos de Hermite. Por una parte se demuestra que los anillos locales, el producto directo de cuerpos y las K-álgebras finitas son anillos de Hermite. Un problema abierto sobre este tipo de anillos, es la Conjetura de Hermite: si R es un anillo de Hermite, entonces R[x] es un anillo de Hermite. Para el caso en que el anillo tenga dimensión de Krull menor o igual a un entero dado se prueba que la conjetura es verdadera. Por otra parte, la teoría estudiada sobre los espacios proyectivos tiene un enfoque algebraico, por ejemplo en (Doneddu, 1980) se definen los espacios proyectivos asociados a un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo K, este enfoque permite considerar la generalización de los espacios vectoriales a los R-módulos libres. Se prueban resultados relacionados con puntos fuertemente independientes, referencias proyectivas y proyectividades algebraicas hasta llegar a demostrar el Teorema de Staudt para rectas proyectivas. Se demuestra que existe una relación biunívoca entre el espacio proyectivo y el espacio proyectivo dual y concluimos demostrando que la forma bilineal asociada a esta relación biunívoca determina una estructura simpléctica sobre el A-módulo A2.
Anillos de hermite. La recta proyectiva
(Universidad Industrial de Santander, 2021) Contreras Mendoza, Astrid Liliana; Granados Pinzón, Claudia Inés
Los trabajos de Quillen y Suslin sobre la conjetura de la fila unimodular de Serre, abre el campo a losllamados por (Lam, 2010) anillos de Hermite. Por una parte se demuestra que los anillos locales, el producto directo decuerpos y las KK-álgebras finitas son anillos de Hermite. Un problema abierto sobre este tipo de anillos, es la Conjeturade Hermite: si R es un anillo de Hermite, entonces R[x] es un anillo de Hermite. Para el caso en que el anillo tenga dimensión de Krull menor o igual a un entero dado se prueba que la conjetura es verdadera. Por otra parte, la teoría estudiada sobre los espacios proyectivos tiene un enfoque algebraico, por ejemplo en (Doneddu,1980) se definen los espacios proyectivos asociados a un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo K,este enfoque permite considerar la generalización de los espacios vectoriales a los R-módulos libres. Se pruebanresultados relacionados con puntos fuertemente independientes, referencias proyectivas y proyectividades algebraicashasta llegar a demostrar el Teorema de Staudt para rectas proyectivas. Se demuestra que existe una relación biunívocaentre el espacio proyectivo y el espacio proyectivo dual y concluimos demostrando que la forma bilineal asociada a esta relación biunívoca determina una estructura simpléctica sobre el .A-módulo 42.
Anillos totales de cocientes y su recta proyectiva
(Universidad Industrial de Santander, 2021) Guevara Gómez, Jackson; Granados Pinzón, Claudia Inés; Teherán Herrera, Arnoldo Rafael; Bueno Carreño, Diana Haidive
En este trabajo de investigaci_x0013_on se estudia el problema abierto de la geometr_x0013__x0010_a proyectiva, que consiste en caracterizar la recta proyectiva sobre anillos, en todo el documento, se entender_x0013_a por anillo, como un anillo conmutativo con uno. Particular- mente, este trabajo se centra en la recta proyectiva sobre anillos totales de cocientes. Primero, se consideran los anillos de cocientes y el homomor_x000C_smo can_x0013_onico. Se intro- ducen los anillos totales de cocientes como un caso particular de los anillos de cocientes y se establecen relaciones existentes con otros anillos como los dominios eucl_x0013__x0010_deos, las K-_x0013_algebras _x000C_nitas y el producto directo de anillos totales de cocientes. Finalmente se muestra la inmersi_x0013_on de cualquier anillo en un producto de cuerpos. As_x0013__x0010_ mismo, se inicia el estudio de la recta proyectiva sobre anillos totales de co- cientes, de_x000C_niendo los elementos complementables en un m_x0013_odulo libre bidimensional. Tambi_x0013_en se mencionan conceptos como fuertemente independientes y referencia proyec- tiva; posteriormente se de_x000C_nen las proyectividades algebraicas _x001C_ - semilineales; la raz_x0013_on doble (o raz_x0013_on anarm_x0013_onica) y como un caso particular, la cuaterna arm_x0013_onica. Finalmen- te se consideran las proyectividades de Staudt que mantienen invariantes las cuaternas arm_x0013_onicas y se demuestra El Teorema de Staudt.
Anillos totales de cocientes y su recta proyectiva
(Universidad Industrial de Santander, 2021) Guevara Gómez, Jackson; Granados pinzón, Caludia Inés
En este trabajo de investigación se estudia el problema abierto de la geometría proyectiva, que consiste en caracterizar la recta proyectiva sobre anillos, en todo el documento, se entenderá por anillo, como un anillo conmutativo con uno. Particularmente, este trabajo se centra en la recta proyectiva sobre anillos totales de cocientes. Primero, se consideran los anillos de cocientes y el homomorfismo canónico. Se introducen los anillos totales de cocientes como un caso particular de los anillos de cocientes y se establecen relaciones existentes con otros anillos como los dominios euclídeos, las K-álgebras finitas y el producto directo de anillos totales de cocientes. Finalmente se muestra la inmersión de cualquier anillo en un producto de cuerpos. Así mismo, se inicia el estudio de la recta proyectiva sobre anillos totales de cocientes, definiendo los elementos complementables en un módulo libre bidimensional. También se mencionan conceptos como fuertemente independientes y referencia proyectiva; posteriormente se definen las proyectividades algebraicas τ - semilineales; la razón doble (o razón anarmónica) y como un caso particular, la cuaterna armónica. Finalmente se consideran las proyectividades de Staudt que mantienen invariantes las cuaternas armónicas y se demuestra El Teorema de Staudt.
Aproximación y tendencia: nociones para la comprensión del límite de una función en un punto
(Universidad Industrial de Santander, 2018) Guarin Amorocho, Sergio Alexander; Parada Rico, Sandra Evely
En este documento presentamos resultados de una investigación de corte didáctico y cognitivo, la cual tuvo como objetivo diseñar, implementar y evaluar una secuencia de actividades que permita caracterizar los niveles de comprensión del concepto de límite de una función en un punto, en estudiantes que participan de un curso de cálculo diferencial en el que se exploran las nociones de aproximación y tendencia. Con el propósito de lograr el objetivo, se utilizaron elementos de la Teoría para la Comprensión Matemática de Pirie y Kieren (1989), la cual nos permitió describir la comprensión en términos de las complementariedades de la acción y la expresión que desarrollan estudiantes de un curso de cálculo diferencial de la UIS. Además, de algunos acercamientos de Blázquez y Ortega (2002), Pons (2014) y Mira (2016) para describir los objetos matemáticos que rodean el concepto de límite, y posteriormente aspectos metodológicos que proponen Fiallo y Parada (2018) para el desarrollo del pensamiento variacional, dado que la estructura que ellos plantean fue utilizada para el diseño de las actividades. En la investigación se realizó la caracterización a priori de los primeros cinco niveles de comprensión matemática para el concepto de límite de una función en un punto, con el fin de que estos descriptores sean los lentes teóricos para analizar la comprensión del objeto matemático de estudio asociados a la secuencia de actividades que aquí se plantea. Finalmente, esta investigación no tan solo se centró en caracterizar los niveles de comprensión del límite de una función en un punto, sino también tuvo el propósito de aportar una secuencia de actividades para que pueda ser usada por profesores de educación media o educación superior en sus aulas de clase para favorecer la comprensión del límite de una función en un punto.
Aspectos históricos epistemologicos relativos al concepto de determinante de Leibniz A Cauchy
(Universidad Industrial de Santander, 2017) Ariza Lopez, John Jairo; Castañeda Pinzon, Sterling
El estudio que aquí se presenta tuvo como objetivo el desarrollar un análisis histórico epistemológico del concepto de determinante comprendiendo un periodo de tiempo desde el año 1693 hasta 1812, en esta línea de tiempo se analizarán las obras de grandes matemáticos de la época tales como: Leibniz, Cramer, Bézout, Lagrange, Gauss, Vandermonde y Cauchy. Con el fin de establecer cuáles fueron los principales aspectos históricos y epistemológicos que promovieron el origen, el desarrollo y la formalización del concepto de determinante, de ver cómo pasa de ser una herramienta utilizada en contextos de aplicación a ser un objeto matemático de estudio. Después del análisis histórico- epistemológico se abrió paso a la revisión de algunos libros utilizados en los cursos de álgebra lineal I de la Universidad Industrial de Santander, esta revisión permitió comprender el tratamiento que se dio al concepto de determinante en los diversos textos y poderlo comparar con los contextos encontrados en el análisis histórico epistemológico, también se identificó tres tipos de enfoques utilizados: combinatorio, inductivo y axiomático. Con base en los resultados de la presente investigación se podrían plantear en futuras investigaciones, situaciones concretas que puedan ser desarrolladas en un curso de álgebra lineal I de la Universidad Industrial de Santander con miras a facilitar el aprendizaje de los estudiantes. 1
Aula inclusiva de matemáticas. Un estudio de situaciones de variación y cambio
(Universidad Industrial de Santander, 2023-03-07) Arciniegas Rueda, Haided Lised; Mendoza Higuera, Edith Johanna; Fiallo Leal, Jorge Enrique; García González, María del Socorro
Este documento describe los resultados de una investigación de corte cualitativo específicamente, una estrategia de diseño con elementos fenomenológicos que tuvo por objetivo: describir una estrategia metodológica para el desarrollo de prácticas variacionales en un grupo diverso de estudiantes de noveno grado. La investigación se enmarca en la Teoría Socioepistemológica de la Matemática Educativa y elementos de la educación inclusiva. De tal modo que, el camino metodológico se delimita en aspectos preliminares, caracterización del grupo diverso, diseño de una situación de aprendizaje, puesta en escena y análisis de datos para finalmente, concluir con el reporte de resultados de la investigación. Los resultados dan cuenta de que la estrategia metodológica para la inclusión en clase de matemáticas la conforman tres elementos fundamentales: la caracterización como punto de partida para el proceso de enseñanza y aprendizaje en el aula de matemáticas, las características del aula inclusiva de matemáticas como base para favorecer la inclusión en el aprendizaje y contribuciones a la caracterización del pensamiento variacional a partir de las prácticas variacionales. Con respecto al último, se reconoce la contribución en la caracterización del pensamiento variacional a partir del desarrollo de prácticas variacionales (comparación, seriación, predicción y estimación) en los tres ritmos de aprendizaje que reconocen y valoran la construcción de conocimiento matemático desde quien aprende. Se espera que, los resultados de esta investigación incentiven continuar la investigación en educación matemáticas e inclusión en aulas no ajenas a la realidad.
Caracterización de invertivilidad de un sistema compresivo de imágenes espectrales usando minimización del rango de un tensor
(Universidad Industrial de Santander, 2020) Fonseca Vargas, Yesid Ferney; Arguello Fuentes, Henry
En este trabajo de investigación, el problema de muestreo compresivo para un tensor de 3 dimensiones se aborda asumiendo que los datos 3D dimensionales reconstruidos a partir de las mediciones comprimidas tienen una representación de bajo rango tensorial. En particular, en esta tesis se define la Propiedad Isométrica Restringida (PIR) que establece que un operador lineal que comprime los datos satisface cierta desigualdad entre normas Frobenius para todos los tensores con rango tensorial más bajo que el rango tensorial del tensor original a reconstruir. Además, este trabajo muestra tres formas diferentes de definir el rango tensorial como una generalización del rango matricial (para datos con 2 dimensiones). Basado en estas definiciones, se presenta un teorema principal de unicidad que indica que un tensor original puede ser completamente reconstruido resolviendo un problema de optimización convexo donde el objetivo es minimizar la norma nuclear tensorial sujeto a que las medidas comprimidas con el operador lineal permanezcan iguales. Este teorema de unicidad tiene como condición suficiente que el operador lineal que comprime los datos satisfaga la PIR. Por otro lado, se analizan los operadores lineales cuasi-isométricos, el cual es una familia de operadores lineales estocásticos, y proporciona un límite de probabilidad asociado con el evento de que un operador lineal cuasi-isométrico satisfaga la PIR.
Caracterización de los niveles de razonamiento de van hiele específicos a los procesos de descripción, definición y demostración en el aprendizaje de las razones trigonométricas
(Universidad Industrial de Santander, 2013) Algarín Torres, Danny Luz; Fiallo Leal, Jorge Enrique
La presente investigación fue desarrollada durante el primer semestre de 2013 con estudiantes de décimo grado de la Institución Educativa Luis Carlos Galán Sarmiento de Bucaramanga, cuyo objetivo era: Caracterizar los niveles de razonamiento de Van Hiele específicos a los procesos de descripción, definición y demostración en el tema de las razones trigonométricas. El marco conceptual de la investigación se fundamentó en los procesos matemáticos de descripción, definición y demostración, entendidos como actividades cognitivas relacionadas con la comprensión y uso de los conocimientos en el tema de las Razones Trigonométricas, se partió de la utilización de una unidad de enseñanza en un sistema de geometría dinámica (SGD) y del modelo de Van Hiele, que permitió analizar la evolución del razonamiento de los estudiantes. En una primera etapa de la investigación, se elaboró una caracterización a priori de los procesos, enmarcados en cada uno de los niveles de Van Hiele, y se diseñó la unidad de enseñanza de las razones trigonométricas. La implementación de la unidad permitió obtener los datos cualitativos, que fueron analizados para perfeccionar la caracterización inicial de los descriptores de los niveles, esto se realizó con base en las actuaciones y trabajos de los estudiantes en cada una de las tareas y actividades planteadas en la unidad de enseñanza. La principal conclusión del trabajo se constituyó en la construcción del listado de descriptores de los niveles de razonamiento de Van Hiele específicos a los procesos de descripción, definición y demostración en el aprendizaje de las razones trigonométricas.
Celdas en hiperespacios de continuos
(Universidad Industrial de Santander, 2016) Herrera Villamizar, Daniel Armando; Camargo García, Javier Enrique
Se conocen modelos de hiperespacios para diferentes continuos que nos permiten conocerlos totalmente en cuanto a sus propiedades topológicas y geométricas. Sin embargo para la mayoría de continuos no es posible dar modelos geométricos a sus hiperespacios y por esta razón debemos encontrar maneras alternativas para describir propiedades de estos hiperespacios. Un problema curioso e interesante que nos ayuda a entender la geometría de los hiperespacios, es identificar celdas en estos hiperespacios. Es conocido que el hiperespacio 2 X de un continuo X, siempre contiene un cubo de Hilbert. Además, 2 X es un cubo de Hilbert si y sólo si X es un continuo localmente conexo. Tenemos que C(X) contiene n−celdas si y sólo si X contiene n−odos, para algún n ∈ N. De manera más general, Cn(X) es un cubo de Hilbert si y sólo si X es un continuo localmente conexo sin arcos libres. Además, con estas ideas, no es difícil probar que si X contiene un subcontinuo descomponible, entonces Cn(X) contiene una (n + 1) −celda, para cada n ∈ N. En este trabajo, mostramos que el recíproco del resultado anterior también es válido y de esta manera damos una respuesta afirmativa a la pregunta; “¿Dado un continuo X. Si Cn(X) contiene (n + 1) −celdas, para algún n ∈ N, entonces X contiene un subcontinuo descomponible?”. Este trabajo está dividido en tres capítulos. En el Capítulo 1 mostramos algunas definiciones y resultados de los continuos y sus hiperespacios. Comenzamos el Capítulo 2 mostrando modelos geométricos para el hiperespacio C(X) de ciertos continuos seguido de algunos resultados obtenidos previamente que nos permiten determinar n−celdas en los hiperespacios 2 X y C(X). En el Capítulo 3 mostramos algunos resultados obtenidos sobre n−celdas en el hiperespacio Cn(X), y por último presentamos nuestros resultados.
Comprensión del concepto de dependencia lineal: una perspectiva de las estructuras y mecanismos mentales de estudiantes universitarios de primer año
(Universidad Industrial de Santander, 2020) Ballesteros Gualdron, Silvia Juliana; Roa Fuentes, Dora Solange; Ku Euan, Darly
Se presenta una investigación que diseña una descomposición genética validada del concepto de dependencia lineal que parte de la aplicación de Acciones sobre objetos concretos (numéricos, geométricos y algebraicos) para la construcción de Objetos abstractos (definiciones formales o esquemas) en estudiantes de primer año de universidad. Se fundamenta en la teoría APOE, en particular, resultados presentados en Arnon et al., (2014) que explican la aplicación de Acciones sobre objetos concretos para lograr Objetos abstractos. En álgebra lineal las representaciones geométricas son interpretadas como objetos concretos, que un individuo puede transformar de manera física o mental. Los antecedentes muestran la importancia de potenciar la construcción de relaciones entre diferentes interpretaciones de los Objetos matemáticos, para promover la comprensión en los estudiantes. La validación de la descomposición genética se dio a partir de aplicar dos veces el ciclo metodologico propuesto por la teoría APOE. En el primer ciclo se buscó mostrar las estructuras y mecanismos mentales que evidencian los estudiantes para construir el concepto de dependencia lineal a partir de investigaciones realizadas anteriormente. En el segundo ciclo, en la fase del análisis teórico se utilizaron los resultados evidenciados en el primer ciclo y teniendo en cuenta la representación geométrica del concepto para diseñar la descomposición genética que finalmente fue utilizada para diseñar las actividades y analizar los datos.

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