Una conexion entre los numeros de fermat y los grupos finitos

Abstract

En este trabajo de monografía se analizan los grupos con subconjuntos de orden perfecto(SOP) los cuales hacen parte de la teoría de los grupos abelianos finitos y presentan uncomportamiento muy especial, puesto que a partir de un grupo SOP dado podemos generarnuevos grupos con dicha propiedad; ya sean más grandes o más pequeños del grupo SOP dado. Estos grupos SOP más pequeños reciben el nombre de grupos SOP minimales. Siendo precisamente estos grupos la base para el teorema principal, el cual afirma que existeun número finito de ellos salvo isomorfismos. En la demostración de este teorema se utilizantécnicas de teoría de números elemental y su conclusión es consecuencia directa de que elnúmero FF; es compuesto, donde este número hace parte de la secuencia numérica definida por Fermat más conocida como los números de Fermat. El trabajo consta de tres capítulos: Preliminares, subconjuntos de orden perfecto y por últimolos números de Fermat y los grupos finitos. En el primer capítulo se recopilan los conceptosy resultados necesarios para el buen entendimiento de este trabajo. En el segundo capítulose define la propiedad de tener subconjuntos de orden perfecto, algunos resultados básicosy diversos ejemplos. Al final de este capítulo se define un grupo con subconjuntos de ordenperfecto que tienen una característica especial que es ser un grupo SOP minimal. Finalmente,en el tercer capítulo se presenta el teorema principal donde se hace evidente la conexión entre los números de Fermat y los grupos finitos.