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PROPIEDADES ESPECTRALES DEL OPERADOR DE LAPLACE-BELTRAMI EN SUPERFICIES

Resumen

El presente trabajo de grado se desarrolla en el área del análisis geométrico, un campo fronterizo que fusiona la geometría diferencial, el análisis funcional y las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. El objeto central de estudio es el operador de Laplace-Beltrami ($-\Delta_{g}$), el cual generaliza el laplaciano clásico euclidiano al contexto de las variedades riemannianas. En esta monografía se aborda de manera específica el análisis espectral de dicho operador actuando sobre superficies regulares compactas y sin frontera (variedades de dimensión $2$). El objetivo principal consiste en demostrar cómo la curvatura gaussiana ($K$) de una superficie impone restricciones analíticas directas sobre su espectro discreto y cómo la saturación de este influye en la geometría del espacio. El primer capítulo recopila los fundamentos de la teoría de la medida y la integración de Lebesgue, extendiendo estas nociones hacia la construcción de los espacios de Lebesgue y Sobolev ($L^{p}$ y $W^{k,p}$), los cuales trasladan las soluciones del problema a espacios de funciones de Hilbert. El segundo capítulo aborda la formulación débil del problema de valores propios a través de operadores lineales elípticos de segundo orden, empleando los teoremas de Lax-Milgram, Rellich-Kondrachov y Hilbert-Schmidt, así como la caracterización variacional de Min-max de Courant-Fischer. El tercer capítulo introduce la geometría intrínseca de superficies, definiendo el operador forma, las curvaturas principales y la métrica riemanniana que da origen al operador de Laplace-Beltrami y a las identidades de Green. Finalmente, el cuarto capítulo unifica las herramientas previas para demostrar de forma detallada el teorema de Lichnerowicz-Obata para el caso $n=2$, el cual establece que, si $K \geq 1$, entonces $\lambda_{1}(-\Delta_{g}) \geq 2$, demostrando además la rigidez del espacio: la cota se satura si y solo si la superficie es isométrica a la esfera unitaria $\mathbb{S}^{2}$.