Browse
Recent Submissions
Item Estudio teórico de las ecuaciones de Navier-Stokes en dominios finos(Universidad Industrial de Santander, 2023-11-28) Quintanilla González, Jhann Marco; Pérez López, Jhean Eleison; Villamizar Roa, Elder Jesús; López Ríos, Juan CarlosLas ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales que modelan como cambia la velocidad y la presión de fluidos viscosos. En este trabajo nos enfocamos en un estudio teórico de las ecuaciones de Navier-Stokes en dominios finos, nos basamos en ( Alves, 2019), donde estudiamos propiedades del espacio de solución y analizamos su solución tanto blanda como débil.Item Relación entre secuencias automáticas y homomorfismos uniformes desde el teorema de cobham(Universidad Industrial de Santander, 2023-11-13) Moncada Santos, Gabriel; Rodríguez Palma, Carlos; Albarracín Mantilla, Adriana; Olaya León, WilsonEste documento se interesa por estudiar la clase de secuencias infinitas sobre un alfabeto Sigma que son generadas por un autómata de estados finito y que a su vez también son generadas por la iteración fija de un homomorfismo uniforme; llamadas, secuencias automáticas. A partir del estudio de las condiciones necesarias para que una secuencia sobre un alfabeto Sigma pueda ser generada de estas dos maneras y otras propiedades importantes que se desprenden de las secuencias automáticas se pretende generar un estudio experimental de las diferentes curvas y gráficas que se pueden generar con esta clase de secuencias y las reglas de dibujo análogas a las usadas en los L-Sistemas a partir de programación en Python con la motivación de generar arte matemático y un repaso por fractales ya conocidos.Item Entrenamiento de una red neuronal artificial mediante el método BFGS estructurado(Universidad Industrial de Santander, 2023-02-14) Gutiérrez Caballero, Jhovanny Alexander; Calderón Silva, Giovanni Ernesto; Arenas Aparicio, Favián Enrique; Pérez López, Jhean Eleison; Rueda Gomez, Diego ArmandoLos problemas de mínimos cuadrados no lineales son comunes en diversas áreas de la ciencia y la ingeniería, donde se busca ajustar modelos matemáticos a datos experimentales de manera que minimicen la diferencia entre los valores observados y los predichos por el modelo. Estos problemas suelen ser no lineales debido a la presencia de parámetros desconocidos en el modelo. Para abordar estos desafiantes problemas, se han desarrollado varios métodos de optimización. Tres de los enfoques más utilizados son el método de Gauss-Newton, el método de Levenberg- Marquardt y el secante estructurado BFGS. Estos métodos de optimización desempeñan un papel fundamental en la resolución de problemas de mínimos cuadrados no lineales en una amplia gama de aplicaciones. La elección del método más adecuado depende de la naturaleza específica del problema y de las características de los datos, y cada uno de estos enfoques ofrece ventajas y desventajas que deben considerarse cuidadosamente en la selección del algoritmo óptimo. En este trabajo se presenta el método secante estructurado BFGS, se analiza la convergencia del método y se presenta una aplicación del mismo en el contexto de las redes neuronales.Item El semigrupo de Ellis de un sistema dinámico sobre un espacio métrico compacto numerable(Universidad Industrial de Santander, 2023-11-09) Perez Remolina, Jhon Freddy; Uzcátegui Aylwin, Carlos Enrique; Camargo García, Javier Enrique; Rincón Villamizar, Michael AlexanderUn sistema dinámico es un par (X, f) donde X es un espacio métrico compacto y f : X → X una función continua. La órbita de un punto x ∈ X, denotada por O_f(x) es el conjunto {f^n(x): n ∈ N}, donde f^n es compuesto con si misma n-veces. Un punto x es periódico si existe n ≥ 1 tal que f^n(x) = x y su periodo es k = mín{n ∈ N: f^n(x) = x}. El semigrupo de Ellis asociado a un sistema dinámico (X, f), el cual es denotado como E(X, f), se define como la clausura topológica del conjunto {f^n : n ∈ N} en el espacio producto X^X. En esta tesis estudiamos el semigrupo E(X, f) basados en el artículo de García, Rodríguez y Uzcátegui 1. Estudiamos sistemas dinámicos los cuales tienen periodos arbitrariamente grandes. Mejoramos algunos resultados sobre este tipo de sistemas dinámicos y corregimos un error presentado en el artículo 1. Además, presentamos algunas propiedades de sistemas dinámicos numerables en los cuales existe un punto con órbita densa y proporcionamos ejemplos de este tipo de sistemas. Específicamente, estudiamos los sistemas dinámicos de la forma (ω^α + 1, f) con 1 ≤ α < ω_1. Finalizamos estableciendo una conexión entre los sistemas dinámicos sobre ω^2 + 1 con orbita densa y las enumeraciones de N × N (es decir, biyecciones de N × N en N).Item Códigos cíclicos LRC-LCD(Universidad Industrial de Santander, 2023-11-08) Rodríguez Cáceres, Yiseth Karina; Olaya León, Wilson; Bueno Carreño, Diana Haidive; Rodríguez Palma, Carlos Arturo; Holguín Villa, AlexanderEn el contexto actual, donde la teoría de la información y los medios digitales están en constante evolución, se enfrentan desafíos cruciales, como garantizar la integridad y confidencialidad de los datos sensibles, así como gestionar eficientemente grandes volúmenes de información. La aplicación de códigos correctores de errores emerge como una herramienta esencial para abordar estos desafíos. Este trabajo se enfoca en los códigos cíclicos localmente recuperables (LRC) y códigos cíclicos duales complementarios (LCD), presentando una combinación estratégica de ambos. Estos códigos no solo corrigen errores en la transmisión de datos, sino que también desempeñan un papel crucial en la protección de datos sensibles, utilizando técnicas como el enmascaramiento de datos. Además, se exploran aplicaciones prácticas en almacenamiento distribuido y se destaca la implementación en SageMath para la construcción y análisis de propiedades específicas de los códigos lineales. En específico, esta investigación se centra en códigos cíclicos que posean propiedades tanto de ser códigos lineales localmente recuperables (LRC) como códigos lineales duales complementarios (LCD).Item Adéles sobre el cuerpo de los números p-ádicos(Universidad Industrial de Santander, 2023-11-05) Pedraza, Manuel Fernando; Albarracín Mantilla, Adriana Alexandra; Pinedo Tapia, Hector Edonis; Granados Pinzón, Claudia InesEl el presente trabajo se mostrará la construcción del anillo de los adéles finitos, la cual se basa en la construcción del cuerpo de los números p-ádicos Q_{p}. El anillo finito de adéles A_{f} se define como el producto directo del cuerpo Q_{p} (Katok, 2007) sobre todos los números primos (finitos) con respecto al anillo de enteros p-ádicos Z_{p}. La construcción de este anillo se fundamenta en pegar todas las completaciones p-ádicas de los números racionales. Es decir: Sea Z_{p} el anillo de los enteros p-ádicos y Q_{p} el cuerpo de los números p-ádicos. Un adéle finito de Q, denotado por A_{Q, fin}=A_{fin} es el producto directo restringido de Q_{p} con respecto a Z_{p} (Aguilar-Arteaga et al., 2020). Esto es: A_{Q ,fin}=A_{f}={(a_{p})_{p en P} en \prod_{p en P} Q_{p}: a_{p} en Z_{p}, para casi todos los primos p en P}, donde P denota el conjunto de los números primos.Item Una introducción al estudio de la formación de patrones de Turing(Universidad Industrial de Santander, 2023-11-01) Figueroa Pérez, Daniel Andres; Villamizar Roa, Élder Jesús; Pérez López, Jhean Eleison; Rueda Gómez, Diego ArmandoLa naturaleza está dotada de una amplia gama de colores, formas, tamaños a toda escala, simetrías, patrones, que despiertan nuestros sentidos de manera abrumadora. Alan Mathison Turing, además de sus aportes seminales en lo que hoy se denomina ciencia de la computación y la inteligencia artificial, tuvo también entre sus logros más significativos, sus aportes en el modelado matemático de la formación de patrones con su célebre artículo publicado en 1952 y titulado “The Chemical Basis of Morphogenesis”, en el cual, en términos muy generales, plantea, cómo el proceso estabilizante de la difusión se convierte en un desestabilizador de un sistema interactivo entre dos sustancias químicas. Se llevó a cabo una revisión bibliográfica sobre los fundamentos subyacentes a la teoría de los patrones de Turing. Comenzamos explorando los conceptos físicos y químicos que sientan las bases de esta teoría. Además, se analizaron las condiciones de inestabilidad según las ecuaciones diferenciales que la teoría de Turing emplea y se examinaron trabajos recientes relevantes en el campo. Adicionalmente, se presentaron en este trabajo algunos esquemas numéricos diseñados para capturar la dinámica de los sistemas de reacción-difusión que son responsables de la generación de los patrones de Turing.Item Extensiones de cuerpos sobre el cuerpo de los números p-ádicos(Universidad Industrial de Santander, 2023-10-26) Landínez García, Vianey; Albarracín Mantilla, Adriana Alexandra; Teherán Herrera, Arnoldo Rafael; Rodríguez Palma, Carlos ArturoDado F un cuerpo y p(x) un polinomio no constante en F[x]. Es posible encontrar una extensión de cuerpos de F que contiene todas las raíces de p(x), llamado el cuerpo de descomposición de p(x). En el caso F=Q_p con p-primo, el cuerpo de los números p-ádicos forman una extensión de cuerpos de los números racionales descritos por primera vez en 1897, por Kurt Hensel un matemático alemán. Dado que Q_p no es algebraicamente cerrado es necesario el Lema de Hensel, un resultado fundamental que proporciona un método para construir raíces aproximadas de un polinomio. En este proyecto consta tres secciones, la primera parte se hará un breve resumen de la teoría de las extensiones de cuerpos, la segunda se ilustra la construcción del cuerpo de los números p-ádicos y las propiedades necesarias para describir el lema de Hensel y el lema de Newton, que permitirá resolver ecuaciones sobre Q_p y la tercera que muestra algunas propiedades de las extensiones p-ádicas.Item Valor agregado por la Universidad industrial de Santander(Universidad Industrial de Santander, 2023-10-25) Santos Canticus, Leidy Paola; Mantilla Duarte, Carlos Alfonso; Rivera Flórez, Tulia Esther; Ríos Gutiérrez, Andrés SebastiánEl presente trabajo de grado tiene por finalidad medir y clasificar el nivel de eficiencia de los procesos educativos impartidos en la Universidad Industrial de Santander (UIS). Esta medición se pretende realizar a través del valor agregado que los programas académicos conceden a sus estudiantes en las diferentes áreas de conocimiento de las pruebas estandarizadas realizadas por el Instituto Colombiano para la Evaluación de la Educación (ICFES), denominados Saber 11 y Saber Pro. Aunque existen varios modelos para medir el valor agregado se optó por utilizar los modelos lineales jerárquicos que permiten la consideración simultánea de los resultados en los estudiantes y de los programas a los cuales están inscritos; además, estos modelos de regresión permiten incluir diversas variables explicativas que permiten, a diferencia de otros modelos más simples, como los mínimos cuadrados ordinarios (OLS) o la regresión simple, identificar el verdadero aporte de los programas a sus estudiantes. En el primer apartado se hablará un poco acerca de los diversos modelos estadísticos que se pueden implementar para calcular el valor agregado y sus desventajas frente a los modelos multinivel. Para llevar a cabo esta medición se empleó una estimación de diferentes modelos lineales jerárquicos de dos niveles con variables instrumentales extraídos del Saber 11 y Saber Pro, los cuales brindaron información para la elección del modelo multinivel de mayor ajuste y calcular el valor agregado para cada programa académico, a fin de clasificar los programas académicos que tienen mayor contribución en la formación de los estudiantes durante su estadía en la universidad con el propósito de realizar un análisis comparativo con los resultados ya analizados por la UIAES para los años 2016-2019.Item Análisis teórico de un modelo estacionario de quimiotaxis con condiciones de frontera no homogéneas(Universidad Industrial de Santander, 2023-08-16) Carreño González, Julieth Daniela; Villamizar Roa, Élder Jesús; Rueda Gómez, Diego Armando; Pérez López, Jhean EleisonLa quimiotaxis es el fenómeno sensorial que describe la influencia de determinadas sustancias químicas, presentes en el medio ambiente, sobre las especies móviles. Este trabajo trata sobre un sistema estacionario no lineal de ecuaciones diferenciales parciales que describe el proceso biofísico conocido como quimioatracción, en el que el movimiento de organismos vivos en respuesta a un estímulo químico se da hacia mayores niveles concentración de la sustancia química. Asumimos que la señal química es consumida por los organismos y se consideran condiciones de frontera más realistas. El principal objetivo de este trabajo es analizar, desde un punto de vista teórico, la existencia y unicidad de soluciones clásicas al modelo estacionario. El contenido de este trabajo monográfico se basa en la referencia 1.Item Espacios Homogéneos Numerables(Universidad Industrial de Santander, 2023-08-14) Neira Díaz, Julián Enrique; Uzcátegui Aylwin, Carlos Enrique; Pérez León, Sergio Andrés; Paternina Salguedo, Ronald EduardoEs sabido que todo grupo topológico es un espacio homogéneo, pero existen espacios homogéneos que no admiten una estructura de grupo topológico, por ejemplo, el cubo de Hilbert. Por esto, estudiaremos los espacios con topologías ∗-invariantes, que son una versión débil de los grupos topológicos, basándonos en el trabajo de van Douwen. Probaremos que si (X,τ) es numerable, regular y homogéneo y (G,∗) es un grupo numerable, entonces existe una topología ∗-invariante ρ sobre G tal que (X,τ)≈(G,ρ). Con esto demostraremos que τ es ∗-invariante para alguna operación de grupo ∗ sobre X. En el primer capítulo, recordaremos algunos conceptos y resultados clásicos de la topología centrándonos en el estudio de los espacios numerables. En el siguiente capítulo, daremos el concepto de espacio homogéneo y mostraremos una caracterización esencial que relaciona el grupo de autohomeomorfismos H(X) con la existencia de una topología ∗-invariante ρ sobre un grupo (G,∗) tal que (G,ρ)≈X. Gracias a esta equivalencia, nuestro trabajo se reduce a construir homeomorfismos a partir de una versión verdadera del axioma de Martin. Por último, mostramos el espacio Sω y la topología +-invariante ρ sobre Z para la cual (Z,ρ)≈Sω.Item Modelización del covid-19 en Santander mediante series temporales(Universidad Industrial de Santander, 2023-08-10) Diaz Garces, Cristian Julian; Rios Gutierrez, Andres Sebastian; Rivera Florez, Tulia Esther; Abril Luna, Julian ArmandoEn los últimos años la pandemia del COVID-19 cambio mucho la vida como la conocíamos, conocer como esta pandemia se propagaba y lograr conocer los posibles contagiados es muy importante para tomar decisiones de salud publica para evitar el colapso del sistema de salud. Este trabajo consiste en presentar un modelo ARIMA para la predicción del número de casos y de ser necesario un modelo GARCH si los errores del modelo ARIMA no se comportan de buena manera (Homocedasticidad). En el primer capítulo, recordaremos algunos conceptos importantes de teoría de series de tiempo ARIMA, y todo lo relacionado a su modelización. En el capítulo siguiente presentaremos algunas definiciones de los modelos GARCH, como se realiza su estimación. En el ultimo capitulo veremos una simulación para confirmar nuestra metodología planteada y el análisis de los datos de COVID-19.Item La topología compacta abierta en los grupos de homeomorfismos.(Universidad Industrial de Santander, 2023-08-10) Bautista Niño, María Del Pilar; Uzcátegui Aylwin, Carlos Enrique; Camargo García, Javier Enrique; Rodríguez Cárdenas, Carlos WilsonUn grupo topológico es un grupo dotado de una topología de tal manera que las operaciones del grupo, multiplicación e inversión, son continuas. En este trabajo nos enfocamos en H(X) el grupo de los autohomeomorfismos de X. Estudiamos la topología compacta abierta y diversos ejemplos de grupos de homeomorfismos con la topología producto que nos permiten concluir la relevancia de la topología compacta abierta en H(X), destacando el interesante contraejemplo que se da con el grupo de homeomorfismos del espacio de Cantor. En la primera parte, se proporciona la teoría necesaria de topología general, el concepto de grupo topológico y algunas representaciones usuales del espacio de Cantor y sus propiedades. En la segunda parte, definimos la topología compacta abierta que da estructura de grupo topológico al grupo de autohomeomorfismos de X cuando X es un espacio compacto de Hausdorff. Finalmente, exponemos los ejemplos que estudiamos, incluido el ejemplo de la Proposición 2.4.2 el cual se desarrolló de manera independiente y del que no sabemos si ya existía alguna referencia. Estos ejemplos nos permiten concluir por qué resulta más útil dotar a H(X) con la topología compacta abierta que con la topología producto, pues para X compacto de Hausdorff, con la primera obtenemos grupos topológicos mientras que con la topología producto eso no ocurre necesariamente.Item El teorema de Desargues desde la geometría proyectiva(Universidad Industrial de Santander, 2023-05-31) Herrera Herrera, Héctor Fabián; Granados Pinzón, Claudia Inés; Julio Batalla, Jurgen Alfredo; Rodríguez Cárdenas, Carlos WilsonEl teorema de Desargues es uno de los primeros resultados que se tienen sobre proyección y perspectiva. En el primer capítulo de este trabajo se realiza un estudio del desarrollo histórico de la geometría proyectiva y de la vida y obra de Desargues, autor del teorema. En el segundo capítulo se aborda la demostración original que Desargues dio del teorema mostrando las imágenes originales de la construcción geométrica y la demostración y explicando el teorema desde una versión más actual a partir de la geometría euclidiana. En el tercer capítulo se presentan las definiciones y resultados necesarios para demostrar el teorema de Desargues desde la geometría proyectiva tales como espacios proyectivos, referencia proyectiva y dualidad; de igual forma se introducen las coordenadas homogéneas con las que se realizará la demostración del teorema. Finalmente, en el capítulo cuarto se presentan algunas aplicaciones del teorema tanto desde el punto de vista euclidiano como desde el punto de vista proyectivo.Item El grupo de clase de un anillo de enteros algebraicos(Universidad Industrial de Santander, 2023-05-27) Rueda Centeno, Juan David; Pinedo Tapia, Héctor Edonis; Rincón Villamizar, Michael; Rodriguez Palma, Carlos ArturoLa teoría algebraica de números es una rama de la teoría de números que a través del algebra abstracta estudia los números enteros, racionales y generalizaciones de estos, como por ejemplo el anillo de los enteros algebraicos de una extensión de cuerpos finita de $\mathbb{Q}$. Históricamente, estos anillos han sido una herramienta para resolver ecuaciones diofánticas y otros problemas relacionados con los números enteros. A partir de estos anillos se definen algunos conceptos que ayudan a entender sus propiedades, entre estos el grupo de clase. En el primer capítulo, repasaremos algunos resultados y conceptos del algebra abstracta, a su vez definiremos algunas aplicaciones para Q las cuales son importantes para el desarrollo del escrito. En el siguiente capítulo primeramente se introduce el concepto de entero algebraico para luego definir el anillo de enteros algebraicos y mencionar algunas de sus propiedades. Luego definiremos el concepto de ideal fraccionario, para así poder demostrar que la colección de ideales de un anillo de enteros algebraicos posee factorización única en ideales primos. Por último, definiremos el grupo de clase. Mostraremos que es finito y algunas de sus aplicaciones como ayudar a solucionar ecuaciones diofánticas y encontrar un ejemplo de un dominio de ideales principales que no sea euclídeo.Item Algebra max-plus y una aplicacion a los cuadrados latinos(Universidad Industrial de Santander, 2019) Palomino Niño, Lina Liceth; Isaacs Giraldo, Ragael FernandoEl álgebra máx-plus se define sobre el conjunto Rε = R∪ {−∞} dotado con las operaciones a⊕b = max´ {a,b} y a ⊗ b = a + b, estas operaciones son asociativas, conmutativas y distributivas. En este conjunto, el elemento neutro es ε = −∞ y el elemento unidad es e = 0. Con estas operaciones, Rε tiene estructura de semianillo que además es idempotente respecto a ⊕. En el primer capítulo se introducen algunos resultados preliminares sobre la teoría de grafos. En el segundo capítulo se presentan conceptos básicos y se estudian algunas propiedades algebraicas que satisfacen las operaciones ⊕ y ⊗ en el conjunto Rε . Se definen las matrices y vectores, se estudia la relación que existe entre los grafos y las matrices ya que, toda matriz cuadrada puede ser representada mediante un grafo ponderado y los pesos de los caminos de dicho grafo pueden ser interpretados mediante las potencias de la matriz ya mencionada, finalmente se hallan los valores y vectores propios de una matriz cuadrada por medio de su grafo asociado y se muestra que toda matriz irreducible tiene valor propio único. En el capítulo tres se definen los cuadrados latinos, se muestran algunas propiedades que satisfacen en el álgebra máx-plus como que todo cuadrado latino es una matriz irreducible y se halla su único valor propio con sus respectivos vectores propios asociados.Item El teorema de sharkovsky(Universidad Industrial de Santander, 2019) Cote Contreras, Yazmin Rubiela; Uzcátegui Aylwin, Carlos EnriqueEn este trabajo se presenta una forma de demostrar el Teorema Sharvosky el cual fue demostrado por Alexander Nicolaevich Sharkovsky en el año 1964 en el articulo titulado “Coexistence of cycles of a continuous mapping into itself” en la revista Ukranian Mathematical Journal. Para enunciar el teorema de Sharkovsky es necesario definir primero el orden de Shakovsky el cual es: 3 B 5 B 7··· B 2 · 3 B 2 · 5 B 2 · 7··· B 2 2 · 3 B 2 2 · 7··· B 2 3 B 2 2 B 2 B 1. Este orden se organiza de mayor a menor, el enunciado del teorema de Sharvosky es la conjunción de los siguientes dos teoremas Teorema: Sea f : I → I una función continua donde I es un intervalo cerrado y acotado de la recta. Si x es un punto periódico con respecto a f de período m y m B l, entonces l es el período de algún otro punto en I. Teorema: Cada cola (no vacía) del orden de Sharkovsky es el conjunto de períodos para alguna función continua en [0,1] en [0,1]. Para el desarrollo de la demostración de este teorema se presentan tres capítulos, donde en el primero se dan definiciones previas, el segundo se ejemplifica las secuencias de Štefan elemento importante en la demostración, en el tercero se generaliza estos conceptos y se realiza la demostración del TeoremaItem Equicontinuidad en dendritas(Universidad Industrial de Santander, 2019) Cancino Rey, Johan Camilo; Camargo García, Javier EnriqueUn continuo es un espacio métrico compacto, conexo y no vacío. Una dendrita es un continuo de Peano (localmente conexo) que no contiene curvas cerradas simples. Dada una dendrita X y x ∈ X, se definen los conjuntos omega límite ω(x, f) = {y ∈ X : y es punto límite de la sucesión (f n(x))n∈N} y Ω(x, f) = {y ∈ X : existen sucesiones (xi) ⊆ X y (ni)i∈N ⊆ N con xi → x y f ni (xi) → y}. Asimismo, diremos que una función f : X → X es equicontinua si para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que si d(x, y) < δ, entonces d(f n(x), f n(y)) < ε para todo n ∈ N. En este trabajo daremos algunas condiciones necesarias para la continuidad de la función ωf : X → 2 X, definida por ωf (x) = ω(x, f), en el contexto de las dendritas. También, se mostrarán algunas propiedades con respecto a la equicontinuidad en dendritas. En el Capitulo 1, se darán algunos conceptos relacionados con sistemas dinámicos discretos y las propiedades más relevantes sobre las dendritas que se usarán posteriormente. En el Capítulo 2 veremos que, en una dendrita, la continuidad de ωf implica que el conjunto de puntos periódicos, Per(f), sea conexo, que el conjunto de puntos recurrentes, R(f), sea un continuo y que además, R(f) = Per(f); siendo estos los principales resultados de este capítulo. Finalmente, en el Capítulo 3, se enuncian algunos teoremas que dan condiciones necesarias y suficientes para que una función f definida en una dendrita sea equicontinuaItem El modulo de convexidad y la constante de james(Universidad Industrial de Santander, 2019) Hernandez Rojas, Diana Isabel; Rincon Villamizar, Michael AlexanderEl objetivo de este trabajo es, dado un espacio de Banach X, estudiar algunas propiedades del m´odulo del convexidad, la constante de James, algunas relaciones que existen entre el m´odulo de convexidad y la constante de James, y finalmente su relaci´on con la geometr´ıa del espacio en cuesti´on. En el primer cap´ıtulo (preliminares) se definen los espacios de Banach y se muestran ejemplos importantes para el desarrollo del trabajo; adem´as se introduce una primera noci´on geom´etrica en el espacio de Banach X, llamada convexidad estricta, y por ´ultimo se presentan las desigualdades de Clarkson, las cuales ser´an usadas en el cap´ıtulo dos. En el segundo cap´ıtulo se definen la noci´on geom´etrica de convexidad uniforme en los espacios de Banach y la funci´on m´odulo de convexidad, con el fin de estudiar su relaci´on con la convexidad estricta. Seguidamente se ilustran algunos ejemplos que cumplen o no con la definici´on de convexidad uniforme haciendo uso de la funci´on mencionada anteriormente. Se finaliza este cap´ıtulo con algunas propiedades que cumple la funci´on m´odulo de convexidad. Finalmente, en el tercer cap´ıtulo se definen tres constantes, A2(X), S(x) y J(X), esta ´ultima llamada la constante de James. Se estudia entonces en este apartado la relaci´on de J(X) con el m´odulo de convexidad, adem´as de algunas desigualdades que cumplen la constante de James y A2(X). Para terminar, se definen los espacios uniformemente no cuadrados (UNS) y se muestra una relaci´on que existe entre el m´odulo de convexidad y la constante S(X).Item Equivalencia del axioma de eleccion con la existencia de bases de hamel(Universidad Industrial de Santander, 2019) Arana Romero, Karen Daniela; Uzcátegui Aylwin, Carlos EnriqueEl objetivo principal de este trabajo es estudiar precisamente el rol que el axioma de elección juega en el álgebra lineal, especialmente en lo que se refiere a la existencia de bases para espacios vectoriales. Estudiaremos la demostración de que el axioma de elección es equivalente a que todo espacio vectorial admita una base expuesta en el libro Axiom of Choice de Horst Herrlich 1 . Esta prueba se divide en 2 partes. En la primera parte para probar la existencia de base para cualquier espacio vectorial se usa una equivalencia del axioma de elección: el Lema de Kuratowski-Zorn, el cual afirma que todo conjunto parcialmente ordenado no vacío en el que toda cadena (subconjunto totalmente ordenado) tiene una cota superior, contiene al menos un elemento maximal. En la segunda parte, para probar que el axioma de elección se deduce a partir de la afirmación de que todo espacio vectorial admite una base, se parte de una familia de conjuntos no vacíos (Xi) i∈I y se considera el anillo de polinomios K [X] y el cuerpo de fracciones K (X), siendo X = S i∈I Xi . También definimos el i−grado para cada i ∈ I y se muestra que el conjunto K (X) sobre el subcuerpo de fracciones de i−grado homogéneo 0, es un espacio vectorial y por tanto existe una base. Sobre esta base definimos una función de elección de manera explícita deduciendo así el axioma de elección múltiple, el cual es una equivalencia del axioma de elección. Finalmente, usando el concepto de familias casi disjuntas, se muestra que cualquier base para el R-espacio vectorial R N necesariamente es no numerable.