Publicación:

Sobre anillos de grupo clean

Resumen

Un elemento a en un anillo R (asociativo con unidad) es llamado clean si él puede escribirse como la suma de una unidad y un elemento idempotente de R. Un anillo R es llamado anillo clean si todos sus elementos son clean. Probablemente el concepto de anillo clean aparece por primera vez en el trabajo de W.K. Nicholson Lifting Idempotents and Exchange Rings [20]. Su objetivo en ese artículo era probar que un anillo A es un anillo “exchange” si y solo si los elementos idempotentes pueden ser levantados módulo todo ideal a izquierda. El anillo Z con las operaciones usuales no es clean, aunque tiene elementos clean. En efecto, dado que la ecuación x = x 2 en Z sólo se satisface para x = 0 o x = 1, entonces ID(Z) = {1, 0}. Además, sus elementos invertibles o unidades son 1,-1. Usando la definición, los elementos clean se obtienen al hacer todas las posibles sumas de elementos invertibles con idempotentes: 0 = (−1) + 1, 2 = 1 + 1, −1 = (−1) + 0, 1 = 1 + 0. Por tanto, los únicos elementos clean en Z son {−1, 0, 1, 2}. El propósito de este trabajo es estudiar algunas propiedades de los anillos clean y en particular verlas en el contexto de los anillos de grupo, situación en la que detallamos las pruebas de los resultados expuestos y en algunos casos los presentamos de otra forma. Nuestro trabajo está compuesto por tres capítulos: En el Capítulo 1 presentamos las definiciones y resultados conocidos que necesitaremos para desarrollar el presente trabajo. En el Capítulo 2 mostramos algunas caracterizaciones y, condiciones necesarias o suficientes para que un anillo R con unidad sea clean. Finalmente, en el último Capítulo presentamos algunos resultados conocidos para anillos de grupo clean, haciendo contraste con los enfoques hallados en la literatura. Además presentamos algunos resultados parciales en anillos de grupo clean no-conmutativos.