Maestría en Matemáticas

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Sobre espacios Lipschitz-libres y encajes no lineales
(Universidad Industrial de Santander, 2023-08-14) Suárez Navarro, Daniel Fabián; Rincón Villamizar, Michael Alexánder; Paternina Salguedo, Ronald Eduardo; Ramos Fernández, Julio César
En este trabajo se demuestra la existencia de una base de Schauder para el espacio F(Bℓ21). Este resultado fue mostrado por Hájek y Pernecká en [9] para el espacio F(Rn). El objetivo en este trabajo es detallar la prueba cuando n = 2. Por otra parte, en el tercer capítulo consiste de una extensión del conocido teorema de Banach-Stone. Concretamente, se demuestra que la existencia de un encaje de un subespacio extremadamente regular A de C(K) en el conjunto C0(S, X) implica que K es imagen continua de un subespacio de S; para este caso la demostración consiste en una reescritura y uni cación de las técnicas usadas en los artículos [3] y [4] en los cuales los autores trabajan por separado, la existencia de encajes para estos espacios.
Funciones inducidas entre hiperespacios de sucesiones convergentes
(Universidad Industrial de Santander, 2023-08-03) Andrade Durán, Álvaro Javier; Camargo García, Javier Enrique; Rincón Villamizar, Michael Alexander; Villanueva Méndez, Hugo
Los hiperespacio de un continuo es una colección de subconjuntos cerrados del continuo bajo algunas condiciones, los hiperespacios que se estudiarán es el hiperespacio de sucesiones convergentes triviales $\mathcal{S}_c(X)$, donde este contiene todas las sucesiones convergentes no triviales de $X$. Además, definimos una nuevo hiperespacio de sucesiones converges $\mathcal{S}(X)$, que contiene todas las sucesiones convergentes de $X$. En este trabajo estudiamos algunas relaciones entre una función definida entre continuos y su función inducida definida entre dos hiperespacios cuando una de estas pertenecía a alguna clase de funciones, entre las clases de funciones que estudiamos estaban las funciones abiertas, semiabiertas, casi abiertas, monótonas y entre otras. En el tercer capítulo se introduce la definición de un nuevo hiperespacio, del cual se obtuvieron varios resultados respecto a algunas propiedades como su conexidad, arco conexidad y conexidad local. Por último, en el último capítulo proveemos una serie de preguntas abiertas para aquellos que quieren continuar con esta investigación.
Análisis teórico de la ecuación KdV con coeficientes dependientes del tiempo
(Universidad Industrial de Santander, 2023-06-01) Rueda Niño, José Camilo; Arenas Díaz, Gilberto; Loaiza Motato, Gerardo Arturo; Pipicano Guzmán, Felipe Alexander; López Ríos, Juan Carlos
El presente proyecto de investigación se enmarca en la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales dispersivas no lineales y la teoría cuasilineal de Kato. Se considera una ecuación KdV unidimensional con coeficientes dependientes del tiempo y se demuestra, considerando condiciones generales sobre los coeficientes, la buena colocación local del problema de Cauchy. Adicionalmente, para este mismo problema, se logran probar tres leyes de conservación.
Simplicidad de anillo de grupo torcido
(Universidad Industrial de Santander, 2023-05-31) Suárez Porras, Edson Jair; Pinedo Tapia, Héctor Edonis; Olaya León, Wilson; Benítez Monsalve, German Alonso
Tomando R0 un anillo conmutativo, asociativo y con unidades locales, G un grupo y α una acción parcial de G en R0. Se demostrará que R0 es una subanillo conmutativa maximal del anillo de grupo torcido R0 ⋊α G si, y solo si, R0 tiene la propiedad de intersección de ideales en R0 ⋊α G, lo cual ayudará a encontrar un criterio de simplicidad de R0⋊α G en términos de conmutatividad maximal y la G-simplicidad de R0. Además se enunciarán algunas aplicaciones importantes, tales como: una nueva demostración del criterio de simplicidad para las álgebras de caminos de Leavitt y se estudiará la dinámica topológica que surge de las acciones parciales sobre subconjuntos abierto-cerrados de un conjunto compacto.
Un problema de control óptimo relativo a un modelo de Lotka-Volterra
(Universidad Industrial de Santander, 2023-03-22) Hernández Rojas, Diana Isabel; Villamizar Roa, Élder Jesús; Rueda Gómez, Diego Armando; López Ríos, Juan Carlos; Mallea Zepeda, Exequiel
En este trabajo se estudia un problema de control óptimo bilineal para un modelo difusivo de competición interespecies de tipo Lotka-Volterra con quimiorepulsión. Este modelo describe la competencia de dos especies de organismos, y una de las especies evita el encuentro con sus rivales mediante un mecanismo de quimiorepulsión. Dentro de los resultados obtenidos, se demuestra la existencia y unicidad de soluciones débiles-fuertes en el caso bidimensional y la existencia y unicidad de soluciones fuertes en el caso tridimensional, y luego se analiza la existencia de una solución óptima global para un problema de control óptimo bilineal relacionado, donde el control actúa sobre la señal química. Posteriormente, se derivan condiciones de optimalidad de primer orden para las soluciones óptimas locales a través de un teorema de existencia de multiplicadores de Lagrange en espacios de Banach. Finalmente, se propone un esquema de aproximación numérica del sistema de optimalidad basado en el método del gradiente, que se valida con algunos experimentos computacionales.
La propiedad dúo en anillos y anillos de grupo
(Universidad Industrial de Santander, 2023-03-14) Flórez Burbano, Brayan Stiven; Holguín Villa, Alexander; Castillo Gómez, John Hermes; Rodríguez Palma, Carlos Arturo; Saldarriaga Ortiz, Omar
Existen diferentes propiedades anillo-teóricas que extienden resultados de anillos conmutativos a un caso más general. Por ejemplo, las propiedades dúo, reversible, simétrico y SI. En este trabajo se estudia la propiedad dúo y algunas de sus relaciones con las propiedades reversible, simétrico y SI, tanto en el contexto general de anillos como de los anillos de grupo. Se presentan pruebas de resultados afirmados sin prueba en la literatura y se diseñan diagramas que resumen algunas implicaciones válidas entre la propiedad dúo y las otras propiedades de interés. Es pecíficamente para un anillo de grupo RG de un grupo de torsión G sobre un anillo conmutativo R con identidad, se diseñan diagramas en los cuales se establece que si el anillo de grupo RG tiene alguna de estas propiedades, entonces G es un grupo Hamiltoniano y la característica de R es 0 o 2. Además, se caracterizan las mismas propiedades en álgebras de grupo FG sobre cuerpos de característica cero y en anillos de grupo RG en los siguientes casos: (1) RG es un anillo de grupo semi-simple y (2) R es un anillo semi-simple y G cualquier grupo.
Reconstrucción de coloraciones a partir de sus conjuntos homogéneos
(Universidad Industrial de Santander, 2023-02-14) Gamboa Higuera, Diego Fernando; Uzcátegui Aylwin, Carlos Enrique; Isaacs Giraldo, Rafael Fernando; Di Prisco de Venanzi, Carlos Augusto
Sea φ una coloración en dos colores de los pares de elementos de un conjunto X numerable. Esto es, una partición de X[2] en dos conjuntos. En 1, fue definido el problema de reconstrucción de coloraciones a partir de sus conjuntos homogéneos. Este trabajo contiene una continuación de la investigación en dicho artículo y hemos logrado responder algunas de las preguntas formuladas allí. En primer lugar, definimos el concepto de coloraciones fuertemente reconstruibles y mostramos que es una instancia más especializada del concepto de coloraciones reconstruibles. En segundo lugar, pero de mayor importancia es el trabajo que se presenta en el Capítulo 3 de esta tesis. Allí, estudiamos la función r, definida en 1 de la siguiente manera, r(φ) = {|A| : A ̸ = ∅, A induce una reconstrucción de φ}, la cual toma valores en los números naturales, o puede ser infinita. Demostramos que si X es infinito, los únicos valores posibles para r(φ) son 1, 4 o א0. La demostración de esta afirmación es el principal resultado que se obtuvo en esta investigación, ver Teorema (3.15). Primero fueron establecidos varios resultados auxiliares dentro de los cuales se destaca el Teorema (3.13) que dice que dada una coloración φ : X[2] → 2 sobre un conjunto infinito X, si A (que induce una reconstrucción de φ) contiene tres aristas que forman un triángulo (a, b, b, c, a, c ∈ A) entonces |A| = א0. Bajo las condiciones requeridas para el teorema principal, las coloraciones que satisfacen r(φ) = 1 o r(φ) = 4 corresponden exactamente con coloraciones que poseen ciertas subestructuras conocidas como pares críticos y ciclos críticos, respectivamente. Por otra parte, en el Capítulo 4, examinamos la estructura interna de colecciones de coloraciones que comparten la lista de conjuntos homogéneos. Estos son unos primeros pasos para establecer un nuevo enfoque con el cual estudiar el problema de reconstrucción de coloraciones.
Continuos G-pseudo-contraíbles
(Universidad Industrial de Santander, 2022-09-10) Oliveros Caicedo, María Angélica; Camargo García, Javier Enrique; Pérez León, Sergio Andrés; Maya Escudero, David
Un continuo es un espacio métrico no vacío, compacto y conexo. Un continuo X es contraíble si existen una función continua H : X × [0, 1] → X y un punto p de X tales que H(x, 0) = x y H(x, 1) = p, para cada x ∈ X. R H Bing introduce la noción de pseudo-contraíble de la siguiente forma: Un continuo X es pseudo-contraíble si existen un continuo K, dos puntos a y b en K, un punto p en X y una función continua H : X × K → X tales que H(x, a) = x y H(x, b) = p, para cada x ∈ X. Años más tarde, David Bellamy generaliza la noción de contractibilidad de la siguiente manera: Un continuo X es g-contraíble si existen una función continua y sobreyectiva f : X → X, un punto p de X y una función continua H : X × [0, 1] →X tales que H(x, 0) = f (x) y H(x, 1) = p, para cada x ∈ X. Con las ideas de Bing y Bellamy, resulta natural definir la noción de g-pseudo-contraíble, que fue definido posteriormente, de la siguiente manera: Un continuo X es g-pseudo-contraíble si existen un continuo K, dos puntos a y b de K, una función sobreyectiva f : X → X, un punto p de X y una función continua H : X × K → X tales que H(x, a) = f (x) y H(x, b) = p, para cada x ∈ X. Mostraremos propiedades, ejemplos y relaciones entre estas nociones derivadas de la contractibilidad en continuos.
Graduaciones en álgebras de camino de Leavitt
(Universidad Industrial de Santander, 2022-09-12) Orozco García, Laura Natalia; Pinedo Tapia, Héctor Edonis; Payares Guevara, Carlos Rafael; Bagio, Dirceu; Dokuchaev, Mikhailo
Este trabajo consiste en estudiar las graduaciones del álgebra de camino de Leavitt, en particular nos centraremos en la Z−graduación canónica y la G−graduación canónica con G un grupo arbitrario y también en la F−graduación donde F es el grupo libre generado por las aristas del grafo, la cual es inducida por el isomorfismo entre las álgebras de camino de Leavitt y cierto anillo de grupo torcido. El objetivo de este trabajo es ver cuando una graduación en estas álgebras es fuertemente graduada, épsilon fuertemente graduada o un producto cruzado por una acción parcial, además de estudiar propiedades de la F−graduación basados en resultados ya existentes para la Z−graduación canónica. En los dos primeros capítulos mencionamos algo de historia de las álgebras de camino de Leavitt y los conceptos básicos de estas, los cuales serán de utilidad a lo largo de este trabajo. En el capítulo siguiente estudiamos las graduaciones canónicas, en particular, cuando la Z−graduación es una fuerte graduación y cuando la G−graduación hace al álgebra de camino de Leavitt épsilon fuertemente graduada. En el tercer capítulo vamos a construir el puente entre las álgebras de camino de Leavitt y los anillos de grupo torcido, además de estudiar algunas aplicaciones de esta interacción. Para finalizar, en el último capítulo mostraremos algunos resultados propios del estudio de la F−graduación, a saber, cuando esta graduación hace a LK(E) fuertemente graduada, clean graduada y unit-regular graduada, por otro lado, también presentaremos una prueba alternativa al isomorfismo entre LK(E) y otro anillo de grupo torcido.
La conjetura de la suma local y el polígono de Newton
(Universidad Industrial de Santander, 2022-09-19) Osorio Cortés, Omar Felipe; Albarracín Mantilla, Adriana Alexandra; León Cardenal, Edwin; Torres Torresblancas, Badillo; Aguilar Arteaga, Víctor Antonio
En el siguiente trabajo se hace una recopilación de los resultados sobre dos conceptos matemáticos que permiten verificar la demostración de la conjetura de la suma local en dimensión dos presentada en el artículo ON THE LOCAL SUM CONJETURE IN TWO DIMENSIONS. Estos dos conceptos son, un conjunto numérico conocido como números p−ádicos, que es notados como Qp, y un objeto matemático conocido como el poliedro de Newton (el cual tiene bastantes usos en distintas ramas de la matemática). Utilizando estos dos conceptos es posible escribir la suma exponencial local como una doble integral p−ádica, la cual tiene como dominio de integración unos subconjuntos de Q2 p, estos dependen de una partición del espacio (R+)2 que es definida por el poliedro de Newton, de esta forma, la conjetura de la suma local es escrita en términos del poliedro de Newton. En esta nueva forma, la conjetura tiene tres casos, los dos primeros casos pueden ser demostrados con teoría de integración p−ádica, en estos dos casos se centra este trabajo.
El hiperespacio de no bloqueadores y la propiedad de Kelley
(Universidad Industrial de Santander, 2022-09-16) Ferreira Ortiz, Mayra Isabel; Camargo García, Javier Enrique; Macías Álvarez, Sergio; Uzcátegui Aylwin, Carlos Enrique
Dados A y B dos compactos de un continuo X, diremos que B no bloquea a A, si la unión de todos los subcontinuos de X que intersectan a A y están contenidos en X \ B es un subconjunto denso de X. Si H ⊆ 2^X, denotamos: B(H) = {B ∈ 2^X : B bloquea a todo elemento de H}; y N B(H) = {B ∈ 2^X : B no bloquea a cada A ∈ H, A ∩ B = ∅}. Como B(H) y N B(H) son subconjuntos de 2^X, éstos serán espacios métricos con la métrica de Hausdorff, y los llamaremos el hiperespacio de bloqueadores y no bloqueadores de H, respectivamente. En particular, estudiamos este hiperespacio cuando H es F1(X). Como N B(F1(X)) un espacio métrico, es natural hacernos la siguiente pregunta: ¿bajo cuáles condiciones el hiperespacio N B(F1(X)) es un continuo? Esta pregunta ya ha sido estudiada por diferentes autores. Revisando los espacios X conocidos tales N B(F1(X)) es un continuo, observamos que entodos los ejemplos presentados hasta el momento, si X no es una curva cerrada simple, entonces X contiene un número infinito de continuos indescomponibles. Por tanto, planteamos la siguientes pregunta: Sea X un continuo hereditariamente descomponible. ¿Si el hiperespacio N B(F1(X)) es un continuo entonces X es una curva cerrada simple? Nuestro trabajo se basa en responder parcialmente a esta pregunta, caracterizamos la curva cerrada simple como el único continuo hereditariamente descomponible con la propiedad de Kelley, tal que el hiperespacio de no bloqueadores N B(F1 (X)) es un continuo. También, demostramos que si X es un dendroide, entonces N B(F1(X)) no es un continuo.
Acciones de grupos profinitos sobre espacios profinitos
(Universidad Industrial de Santander, 2022-04-01) Villamizar Tarazona, Andrés Yamith; Pinedo Tapia, Héctor Edonis; Camargo García, Javier Enrique; Hernández Arzusa, Julio César
Sean I un conjunto dirigido y C una categoría. En el marco de la teoría de categorías, una clásica construcción es el llamado límite inverso asociado a un sistema inverso indizado por I; en particular, un espacio profinito X se define como el límite inverso de un sistema inverso conformado por espacios topológicos finitos y discretos, o de manera equivalente como se expresa en (Magid, 2014, p. 50), X es un espacio compacto, Hausdorff y totalmente disconexo. Adicionalmente, un grupo topológico G es un grupo profinito si visto como espacio topológico es profinito. Uno de los objetivos de este trabajo es analizar la estrecha relación que existe entre los grupos profinitos y la Teoría de Galois. Por otro lado, el concepto de acción parcial de grupo nace en el contexto de las C^*-álgebras, en medio de los trabajos realizados por el matemático brasileño Ruy Exel, sin embargo, la idea de acción parcial de un grupo sobre un conjunto fue introducida en (Exel, 1998), y generaliza la noción de acción de grupo. Sea G un grupo y \varphi una acción de G sobre un espacio topológico X. La relación de órbita asociada a \varphi, junto con el espacio de órbitas (usualmente denotado por X/G) y la proyección \ps_G:G : X\rightarrow X/G, son conceptos destacados en el estudio de las acciones de grupo. Este trabajo se enfoca por un lado en estudiar condiciones establecidas en (Magid, 2014, Section 2.4), bajo las cuales X/G es profinito, y para que la proyección G admita secciones continuas; por otro lado, el interés es presentar formalmente las acciones parciales de grupo y extender al contexto parcial los resultados analizados en (Magid, 2014, Section 2.4).
Existencia global y comportamiento asintótico de soluciones para un sistema de quimiotáxis-Navier-Stokes en el contexto fraccionario
(Universidad Industrial de Santander, 2022-04-01) Fontecha Medina, Miguel Ángel; Villamizar Roa, Elder Jesús; Pérez López, Jhean Eleison; Angulo Castillo, Vladimir
El presente trabajo está dirigido al estudio de un modelo de quimiotaxis-NavierStokes fraccionario, en todo el espacio RN, N ě 2, con una variación temporal fraccionaria en el sentido de Caputo, una autodifusión fraccionaria para las variables físicas y un mecanismo de disipación fraccionaria para el proceso de quimioatracción. Se inicia con una breve introducción, en la cual se presentan algunos elementos que motivan el planteamiento del problema y se exponen algunos resultados que han sido obtenidos previamente para el modelo clásico (sin régimen fraccionario). En el primer Capítulo, se introducen algunas definiciones y resultados preliminares que se usan en el desarrollo del trabajo; se presenta la definición de los espacios de Morrey y de Besov-Morrey, se mencionan algunas de sus propiedades y también se presentan algunas nociones relevantes del cálculo fraccionario. Al final del capítulo, se hace una deducción de la formulación integral para un problema de Cauchy abstracto con derivada temporal de orden fraccionario en el sentido de Caputo. En el Capítulo 2, se presenta una descripción del modelo, se define el marco funcional para los datos iniciales y las variables involucradas y, además, se introduce la formulación integral del modelo de Cauchy asociado. Luego, se derivan algunas estimativas de decaimiento en tiempo para los operadores de Mittag-Leffler y posteriormente, se calculan algunas estimativas bilineales, las cuales son necesarias para demostrar los principales resultados de este trabajo. Finalmente, en el Capítulo 3, a partir de las estimativas calculadas previamente, se prueba un nuevo resultado de existencia y unicidad de soluciones mild globales con datos iniciales pequeños en espacios de Besov-Morrey. Así mismo, se prueba un resultado de estabilidad asintótica para las soluciones globales obtenidas.
El semigrupo inverso simétrico, el teorema de Pettis y la continuidad automática
(Universidad Industrial de Santander, 2021) Arana Romero, Karen Daniela; Uzcátegui Aylwin, Carlos Enrique; Camargo García, Javier Enrique; di Prisco de Venanzi, Carlos Augusto
En el primer capítulo se presentan los preliminares que precisarán y organizarán los elementos básicos de la investigación. En el segundo capítulo presentamos el concepto de semigrupo polaco mostrando y estudiando tres ejemplos: NN, S∞ y I(N), donde el semigrupo inverso simétrico y su topología son el centro fundamental para este trabajo. Estudiamos también un teorema que caracteriza a los semigrupos topológicos T0 que son topológicamente isomorfos a los subsemigrupos de NN (ver Teorema 2.1.6). El tercer capítulo es el más importante del trabajo. Tiene como objetivo generalizar el teorema de Pettis para semigrupos polacos. Con esto en mente, recordamos la demostración del teorema de Pettis, resultado que se usa para demostrar la continuidad automática en grupos polacos. Finalmente hemos introducido una nueva propiedad para semigrupos polacos, la cual hemos llamado propiedad de Pettis (ver 3.3). Mostramos ejemplos de semigrupos que tienen la propiedad y otros que no. Más específicamente, mostramos que I(N) no tiene la propiedad de Pettis, sin embargo contiene el siguiente semigrupo inverso polaco que si la tiene: Sea {Bi}i∈N una colección de subconjuntos infinitos de N disjuntos dos a dos. Entonces el conjunto S = S∞ i=1 S∞(Bi)∪{1∅} es un semigrupo inverso polaco que tiene la propiedad de Pettis. Al final del tercer capítulo enunciamos algunas preguntas que surgieron naturalmente durante el desarrollo del trabajo y que consideramos interesantes.
Conjuntos omega límite en clases de continuos
(Universidad Industrial de Santander, 2021) Cancino Rey, Johan Camilo; Camargo García, Javier Enrique; Isaacs Giraldo, Rafael Fernando; Maya Escudero, David
Dados un espacio métrico compacto y f : X → X una función continua definida sobre X, es común llamar sistema dinámico discreto al par (X, f ). Para un punto x ∈ X, se definen sus conjuntos omega límite como ω(x, f ) = {y ∈ X : y es punto límite de la sucesión ( f n(x))n∈N} y Ω(x, f ) = {y ∈ X : existen sucesiones (xi)i∈N ⊆ X y (ni)i∈N ⊆N con xi→x y f ni (xi)→y}, los cuales nos permiten definir de forma natural las funciones omega límite ωf ,Ωf : X →2X . En este trabajo estudiaremos propiedades de los conjuntos omega límite y las funciones omega límite en ciertas clases de continuos, como continuos de tipo lambda, dendritas, dendroides o continuos atriódicos. Iniciaremos presentando los conceptos más relevantes de teoría de continuos y sistemas dinámicos discretos que se usarán a lo largo del trabajo. Luego, abordaremos los continuos de tipo λ, y presentaremos la noción de función que preserva fibras, que será esencial al estudiar algunas propiedades dinámicas en esta clase continuos. Posteriormente, consideramos los puntos no errantes y su relación con el conjunto Ω(x, f ); en esta parte se mostrará por ejemplo que la función Ωf siempre es semicontinua superior. Seguidamente se presentarán algunas generalizaciones de resultados conocidos previamente, y para finalizar se estudiarán los continuos atriódicos y ciertas propiedades dinámicas que involucran los conjuntos omega limite, puntos periódicos, puntos recurrentes y el concepto de equicontinuidad.
Análisis teórico de las ecuaciones diferenciales difusas de orden fraccionario
(Universidad Industrial de Santander, 2021) Contreras Páez, Duván Alexis; Villamizar Roa, Elder Jesús; Arenas Díaz, Gilberto; Pérez López, Jhean Eleison; Herrón Osorio, Sigifredo de Jesús
El estudio de ecuaciones diferenciales fraccionarias constituye un campo de creciente interés, no solo desde el punto de vista teórico, sino también debido a su aplicabilidad al análisis de fenómenos de las ciencias físicas y naturales. Su formalización se caracteriza por la sustitución de derivadas clásicas por derivadas de orden fraccionario. Por otro lado, las ecuaciones diferenciales difusas se propusieron como un intento de manejar la incertidumbre que aparece en muchos modelos matemáticos de algunos fenómenos no deterministas del mundo real en los que predomina la incertidumbre, la subjetividad o la vaguedad. En esta tesis, además de disertar sobre la fundamentación teórica del cálculo fraccionario, se analiza la existencia de soluciones de problemas de valor inicial en el contexto fraccionario, que incluyen fenómenos de retardo. Explícitamente, considerando la derivada generalizada difusa de Caputo-Katugampola, se demuestran algunos resultados de existencia y unicidad vía teoremas de punto fijo de funciones débilmente contractivas sobre espacios métricos parcialmente ordenados.
Anillos de Hermite. La recta proyectiva
(Universidad Industrial de Santander, 2021) Contreras Mendoza, Astrid Liliana; Granados Pinzón, Claudia Inés; Pinedo Tapia, Héctor Edonis; García Martínez, Sandra Carolina
Los trabajos de Quillen y Suslin sobre la conjetura de la fila unimodular de Serre, abre el campo a los llamados por (Lam, 2010) anillos de Hermite. Por una parte se demuestra que los anillos locales, el producto directo de cuerpos y las K-álgebras finitas son anillos de Hermite. Un problema abierto sobre este tipo de anillos, es la Conjetura de Hermite: si R es un anillo de Hermite, entonces R[x] es un anillo de Hermite. Para el caso en que el anillo tenga dimensión de Krull menor o igual a un entero dado se prueba que la conjetura es verdadera. Por otra parte, la teoría estudiada sobre los espacios proyectivos tiene un enfoque algebraico, por ejemplo en (Doneddu, 1980) se definen los espacios proyectivos asociados a un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo K, este enfoque permite considerar la generalización de los espacios vectoriales a los R-módulos libres. Se prueban resultados relacionados con puntos fuertemente independientes, referencias proyectivas y proyectividades algebraicas hasta llegar a demostrar el Teorema de Staudt para rectas proyectivas. Se demuestra que existe una relación biunívoca entre el espacio proyectivo y el espacio proyectivo dual y concluimos demostrando que la forma bilineal asociada a esta relación biunívoca determina una estructura simpléctica sobre el A-módulo A2.
Copias de c0(Γ) en espacios de funciones diferenciables
(Universidad Industrial de Santander, 2021) Arocha Osorio, Ludwing Duhan; Rodríguez Cárdenas, Carlos Wilson; Reyes González, Edilberto José; Muentes Acevedo, Jeovanny de Jesús
Sea X un espacio de Banach y K un subespacio localmente compacto de R sin puntos aislados. Se denota por C(m) 0 (K;X) al espacio de Banach de todas las funciones f : K !X de clase C(m) tales que f ; f (1); _x0001_ _x0001_ _x0001_ ; f (m) se anulan en el infinito, dotado de la norma k f kM = m´ax 0_x0014_j_x0014_m fk f ( j)k¥g. En este trabajo estudiamos la clase de espacios C(m) 0 (K;X). Extendemos el teorema de Cembranos (1984) y probamos que si X es de dimensión infinita, entonces C(m) 0 (K;X) contiene una copia complementada de co, donde co denota al espacio de Banach de todas las sucesiones de escalares que convergen a cero. Si G es un conjunto no vacío dotado con la topología discreta, el espacio C0(G) será denotado como c0(G). En particular, si G es infinito numerable, c0(G) es el espacio de sucesiones de escalares que convergen a cero, es decir, c0. Como segundo resultado, se extiende una demostración hecha por Galego and Hagler (2012) y se prueba que si C(m) 0 (K;X) contiene copia de c0(À1), esto es, el espacio de funciones (aa)a2À1 tales que para cada e > 0, el conjunto fa 2 À1 : jaaj _x0015_ eg es finito, entonces X contiene copia de c0(À1). Finalizamos este trabajo planteando preguntas para posibles trabajos futuros de investigación (sección 2.3).
Sobre anillos fuertemente graduados y epsilon-fuertemente graduados
(Universidad Industrial de Santander, 2021) Martínez Sánchez, Luis Augusto; Pinedo Tapia, Héctor Edonis; Holguín Villa, Alexander; Bagio, Dirceu
En este trabajo abordamos algunas propiedades de las clases de anillos fuertemente graduados, épsilon fuertemente graduados y casi épsilon-fuertemente graduados por un grupo G. En primer lugar, realizamos un estudio de resultados conocidos, los cuales relacionan los anillos fuertemente graduados con conceptos categóricos. En particular, hablamos del Teorema de Dade. Posteriormente, estudiamos los anillos epsilon-fuertemente graduados desde un punto de vista categórico, y demostramos una caracterización funtorial de estos anillos mediante los funtores Ind y Coind. Además, mostramos condiciones suficientes para que un anillo casi épsilon-fuertemente graduado sea épsilon-fuertemente graduado. Seguidamente, establecemos una versión del Teorema de Dade para la familia de anillos casi-epsilon fuertemente graduados, y algunas consecuencias de este. Introducimos la categoría SIMS-gr de módulos simétricamente graduados y la usamos para mostrar una caracterización de los anillos fuertemente graduados. A partir de esta caracterización, podremos ver algunas propiedades que cumplen los anillos épsilon-fuertemente graduados graduados y un anillo épsilon-fuertemente graduado trivialmente. Para presentar ejemplos de este resultado, usamos algunas nociones básicas de las álgebras de camino de Leavitt.
Anillos totales de cocientes y su recta proyectiva
(Universidad Industrial de Santander, 2021) Guevara Gómez, Jackson; Granados Pinzón, Claudia Inés; Teherán Herrera, Arnoldo Rafael; Bueno Carreño, Diana Haidive
En este trabajo de investigaci_x0013_on se estudia el problema abierto de la geometr_x0013__x0010_a proyectiva, que consiste en caracterizar la recta proyectiva sobre anillos, en todo el documento, se entender_x0013_a por anillo, como un anillo conmutativo con uno. Particular- mente, este trabajo se centra en la recta proyectiva sobre anillos totales de cocientes. Primero, se consideran los anillos de cocientes y el homomor_x000C_smo can_x0013_onico. Se intro- ducen los anillos totales de cocientes como un caso particular de los anillos de cocientes y se establecen relaciones existentes con otros anillos como los dominios eucl_x0013__x0010_deos, las K-_x0013_algebras _x000C_nitas y el producto directo de anillos totales de cocientes. Finalmente se muestra la inmersi_x0013_on de cualquier anillo en un producto de cuerpos. As_x0013__x0010_ mismo, se inicia el estudio de la recta proyectiva sobre anillos totales de co- cientes, de_x000C_niendo los elementos complementables en un m_x0013_odulo libre bidimensional. Tambi_x0013_en se mencionan conceptos como fuertemente independientes y referencia proyec- tiva; posteriormente se de_x000C_nen las proyectividades algebraicas _x001C_ - semilineales; la raz_x0013_on doble (o raz_x0013_on anarm_x0013_onica) y como un caso particular, la cuaterna arm_x0013_onica. Finalmen- te se consideran las proyectividades de Staudt que mantienen invariantes las cuaternas arm_x0013_onicas y se demuestra El Teorema de Staudt.

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