Anillos de Hermite. La recta proyectiva

Abstract

Los trabajos de Quillen y Suslin sobre la conjetura de la fila unimodular de Serre, abre el campo a los llamados por (Lam, 2010) anillos de Hermite. Por una parte se demuestra que los anillos locales, el producto directo de cuerpos y las K-álgebras finitas son anillos de Hermite. Un problema abierto sobre este tipo de anillos, es la Conjetura de Hermite: si R es un anillo de Hermite, entonces R[x] es un anillo de Hermite. Para el caso en que el anillo tenga dimensión de Krull menor o igual a un entero dado se prueba que la conjetura es verdadera. Por otra parte, la teoría estudiada sobre los espacios proyectivos tiene un enfoque algebraico, por ejemplo en (Doneddu, 1980) se definen los espacios proyectivos asociados a un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo K, este enfoque permite considerar la generalización de los espacios vectoriales a los R-módulos libres. Se prueban resultados relacionados con puntos fuertemente independientes, referencias proyectivas y proyectividades algebraicas hasta llegar a demostrar el Teorema de Staudt para rectas proyectivas. Se demuestra que existe una relación biunívoca entre el espacio proyectivo y el espacio proyectivo dual y concluimos demostrando que la forma bilineal asociada a esta relación biunívoca determina una estructura simpléctica sobre el A-módulo A2.