Maestría en la Enseñanza de la Matemática

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    Copias de c0(gamma) y l infinito(gamma) en espacios de funciones
    (Universidad Industrial de Santander, ) Reyes Rojas, Diego Johann ; Rodríguez Cárdenas, Carlos Wilson
    El Teorema de Drewnowski, el cual fue probado por el matemático polaco Lech Drewnowski en 1991 establece condiciones necesarias y suficientes para que el espacio Kω˚ pX ˚;Yq de los operadores lineales ω ˚ ´ ω´continuos y compactos contenga una copia de `8. Esto es, Kω˚ pX ˚;Yq contiene una copia de `8 si, y solo si, X o Y contiene una copia de `8. Una consecuencia de este teorema es que el espacio KpX;Yq de los operadores compactos de X en Y contiene una copia de `8 si, y solo si, X ˚ o Y contiene una copia de `8. En este trabajo probare_x0002_mos que el Teorema de Drewnowski puede ser extendido al espacio Pω˚ p nX ˚;Yq de los polinomios n´homogéneos ω ˚ ´ ω´continuos y compactos de X ˚ en Y. Esto es, Pω˚ p nX ˚;Yq contiene una copia de `8 si, y solo si, X o Y contiene una copia de `8. También mostraremos que el Teorema de Drewnowski para el caso de KpX;Yq no puede ser extendido al espacio PKp nX;Yq de los polinomios n´homogéneos compactos de X en Y considerando el caso en el que n “ 2 y X “ Y “ `2, esto es, PKp 2 `2; `2q. Finalmente, daremos condiciones para que el espacio Pω˚ p nX ˚;Yq contenga una copia de c0pΓq o `8pΓq.
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    Anillos totales de cocientes y su recta proyectiva
    (Universidad Industrial de Santander, ) Guevara Gómez, Jackson ; Granados pinzón, Caludia Inés
    En este trabajo de investigaci_x0013_on se estudia el problema abierto de la geometr_x0013__x0010_a proyectiva, que consiste en caracterizar la recta proyectiva sobre anillos, en todo el documento, se entender_x0013_a por anillo, como un anillo conmutativo con uno. Particular- mente, este trabajo se centra en la recta proyectiva sobre anillos totales de cocientes. Primero, se consideran los anillos de cocientes y el homomor_x000C_smo can_x0013_onico. Se intro- ducen los anillos totales de cocientes como un caso particular de los anillos de cocientes y se establecen relaciones existentes con otros anillos como los dominios eucl_x0013__x0010_deos, las K-_x0013_algebras _x000C_nitas y el producto directo de anillos totales de cocientes. Finalmente se muestra la inmersi_x0013_on de cualquier anillo en un producto de cuerpos. As_x0013__x0010_ mismo, se inicia el estudio de la recta proyectiva sobre anillos totales de co- cientes, de_x000C_niendo los elementos complementables en un m_x0013_odulo libre bidimensional. Tambi_x0013_en se mencionan conceptos como fuertemente independientes y referencia proyec- tiva; posteriormente se de_x000C_nen las proyectividades algebraicas _x001C_ - semilineales; la raz_x0013_on doble (o raz_x0013_on anarm_x0013_onica) y como un caso particular, la cuaterna arm_x0013_onica. Finalmen- te se consideran las proyectividades de Staudt que mantienen invariantes las cuaternas arm_x0013_onicas y se demuestra El Teorema de Staudt.
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    Sobre anillos fuertemente graduados y epsilon-fuertemente graduados
    (Universidad Industrial de Santander, ) Martínez Sánchez, Luis Augusto ; Pinedo Tapia, Héctor Edonis
    En este trabajo abordamos algunas propiedades de las clases de anillos fuertemente graduados, épsilon fuertemente graduados y casi épsilon-fuertemente graduados por un grupo G. En primer lugar, realizamos un estudio de resultados conocidos, los cuales relacionan los anillos fuertemente graduados con conceptos categóricos. En particular, hablamos del Teorema de Dade. Posteriormente, estudiamos los anillos epsilon-fuertemente graduados desde un punto de vista categórico, y demostramos una caracterización funtorial de estos anillos mediante los funtores Ind y Coind. Además, mostramos condiciones suficientes para que un anillo casi épsilon-fuertemente graduado sea épsilon-fuertemente graduado. Seguidamente, establecemos una versión del Teorema de Dade para la familia de anillos casi-epsilon fuertemente graduados, y algunas consecuencias de este. Introducimos la categoría SIMS-gr de módulos simétricamente graduados y la usamos para mostrar una caracterización de los anillos fuertemente graduados. A partir de esta caracterización, podremos ver algunas propiedades que cumplen los anillos épsilon-fuertemente graduados graduados y un anillo épsilon-fuertemente graduado trivialmente. Para presentar ejemplos de este resultado, usamos algunas nociones básicas de las álgebras de camino de Leavitt.
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    Espacios polacos universales
    (Universidad Industrial de Santander, ) Guerrero Mojica, José Guillermo ; Uzcátegui Aylwin, Carlos Enrique
    Los espacios polacos universales han sido muy estudiados en los últimos años. En este trabajo presentaremos algunos resultados sobre este tema. Decimos que un espacio polaco X es universal si todos los espacios polacos están contenidos isométricamente en X. Estudiaremos ejemplos importantes de espacios universales como C [0;1], el espacio de las funciones continuas del intervalo [0;1] en R con la métrica uniforme. Decimos que un espacio métrico es ultra homogéneo si toda isometría entre subconjuntos finitos se puede extender a una isometría sobre todo el espacio. Estudiaremos la ultra homogeneidad de R y verificaremos que C [0;1] no es ultra homogéneo. Uno de nuestros objetivos principales es construir el espacio de Urysohn U y mostrar que es el único (salvo isometría) espacio polaco universal y ultra homogéneo. Realizaremos tres construcciones del espacio universal de Urysohn, usando ideas de Urysohn, Hausdorff y Katetov, para esto seguiremos los trabajos (Husek, 2008) y (Gao, 2009). Un grupo topológico es polaco si como espacio topológico es polaco. Verificaremos que Iso (X), el grupo de isometrías sobre un espacio polaco X con la topología de la convergencia puntual y la operación composición, es un grupo polaco. Decimos que un grupo polaco es universal si contiene a todos los grupos polacos isomorficamente como subgrupos cerrados. Verificaremos que Iso (U), el grupo de isometrías sobre el espacio de Urysohn, es universal.