Maestría en la Enseñanza de la Matemática

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    Espacios polacos universales
    (Universidad Industrial de Santander, 2021) Guerrero Mojica, José Guillermo; Uzcátegui Aylwin, Carlos Enrique
    Los espacios polacos universales han sido muy estudiados en los últimos años. En este trabajo presentaremosalgunos resultados sobre este tema. Decimos que un espacio polaco X es universal si todos los espacios polacosestán contenidos isométricamente en X. Estudiaremos ejemplos importantes de espacios universales como C[O, 1], elespacio de las funciones continuas del intervalo [0, 1] en R con la métrica uniforme. Decimos que un espacio métricoes ultrahomogéneo si toda isometría entre subconjuntos finitos se puede extender a una isometría sobre todo el espacio.Estudiaremos la ultrahomogeneidad de R y verificaremos que C[O, 1] no es ultrahomogéneo. Uno de nuestros objetivosprincipales es construir el espacio de Urysohn U y mostrar que es el único (salvo isometría) espacio polaco universal y ultrahomogéneo. Realizaremos tres construcciones del espacio universal de Urysohn, usando ideas de Urysohn, Hausdorff y Katétov, para esto seguiremos los trabajos (Husek] 2008) y (Gao] 2009). Un grupo topológico es polaco si como espacio topológico es polaco. Verificaremos que [so(X), el grupo deisometrías sobre un espacio polaco X con la topología de la convergencia puntual y la operación composición, es ungrupo polaco. Decimos que un grupo polaco es universal si contiene a todos los grupos polacos isomorficamente como subgrupos cerrados. Verificaremos que Iso(U), el grupo de isometrías sobre el espacio de Urysohn, es universal.
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    Sobre anillos fuertemente graduados y épsilon-fuertemente graduados
    (Universidad Industrial de Santander, 2021) Martínez Sánchez, Luis Augusto; Pinedo Tapia, Héctor Edonis
    En este trabajo abordamos algunas propiedades de las clases de anillos fuertemente graduados, epsilonfuertemente graduados y casi epsilon-fuertemente graduados por un grupo G. En primer lugar, realizamos un estudiode resultados conocidos, los cuales relacionan los anillos fuertemente graduados con conceptos categóricos. En particular, hablamos del Teorema de Dade. Posteriormente, estudiamos los anillos epsilon-fuertemente graduados desdeun punto de vista categórico, y demostramos una caracterización funtorial de estos anillos mediante los funtoresInd y Coind. Además, mostramos condiciones suficientes para que un anillo casi epsilon-fuertemente graduado seaepsilon-fuertemente graduado. Seguidamente, establecemos una versión del Teorema de Dade para la familia de anillos casi-epsilon fuertemente graduados, y algunas consecuencias de este. Introducimos la categoría SIMS-gr de módulos simétricamente graduados y la usamos para mostrar una caracterizaciónde los anillos fuertemente graduados. A partir de esta caracterización, podremos ver algunas propiedades que cumplenlos anillos epsilon-fuertemente graduados y que no cumplen los fuertemente graduados, además de las que ya son conconocidas. Finalmente, determinamos condiciones suficientes para que un anillo epsilon-fuertemente graduado puedaser escrito como suma directa de anillos fuertemente graduados y un anillo epsilon-fuertemente graduado trivialmente. Para presentar ejemplos de este resultado, usamos algunas nociones básicas de las álgebras de camino de Leavitt.
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    Copias de c0(gamma) y l infinito(gamma) en espacios de funciones
    (Universidad Industrial de Santander, 2021) Reyes Rojas, Diego Johann; Rodríguez Cárdenas, Carlos Wilson
    El Teorema de Drewnowski, el cual fue probado por el matemático polaco Lech Drewnowski en 1991 establece condiciones necesarias y suficientes para que el espacio Kω˚ pX ˚;Yq de los operadores lineales ω ˚ ´ ω´continuos y compactos contenga una copia de `8. Esto es, Kω˚ pX ˚;Yq contiene una copia de `8 si, y solo si, X o Y contiene una copia de `8. Una consecuencia de este teorema es que el espacio KpX;Yq de los operadores compactos de X en Y contiene una copia de `8 si, y solo si, X ˚ o Y contiene una copia de `8. En este trabajo probaremos que el Teorema de Drewnowski puede ser extendido al espacio Pω˚ p nX ˚;Yq de los polinomios n´homogéneos ω ˚ ´ ω´continuos y compactos de X ˚ en Y. Esto es, Pω˚ p nX ˚;Yq contiene una copia de `8 si, y solo si, X o Y contiene una copia de `8. También mostraremos que el Teorema de Drewnowski para el caso de KpX;Yq no puede ser extendido al espacio PKp nX;Yq de los polinomios n´homogéneos compactos de X en Y considerando el caso en el que n “ 2 y X “ Y “ `2, esto es, PKp 2 `2; `2q. Finalmente, daremos condiciones para que el espacio Pω˚ p nX ˚;Yq contenga una copia de c0pΓq o `8pΓq.
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    Anillos totales de cocientes y su recta proyectiva
    (Universidad Industrial de Santander, 2021) Guevara Gómez, Jackson; Granados pinzón, Caludia Inés
    En este trabajo de investigación se estudia el problema abierto de la geometría proyectiva, que consiste en caracterizar la recta proyectiva sobre anillos, en todo el documento, se entenderá por anillo, como un anillo conmutativo con uno. Particularmente, este trabajo se centra en la recta proyectiva sobre anillos totales de cocientes. Primero, se consideran los anillos de cocientes y el homomorfismo canónico. Se introducen los anillos totales de cocientes como un caso particular de los anillos de cocientes y se establecen relaciones existentes con otros anillos como los dominios euclídeos, las K-álgebras finitas y el producto directo de anillos totales de cocientes. Finalmente se muestra la inmersión de cualquier anillo en un producto de cuerpos. Así mismo, se inicia el estudio de la recta proyectiva sobre anillos totales de cocientes, definiendo los elementos complementables en un módulo libre bidimensional. También se mencionan conceptos como fuertemente independientes y referencia proyectiva; posteriormente se definen las proyectividades algebraicas τ - semilineales; la razón doble (o razón anarmónica) y como un caso particular, la cuaterna armónica. Finalmente se consideran las proyectividades de Staudt que mantienen invariantes las cuaternas armónicas y se demuestra El Teorema de Staudt.
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    La noción de auto semejanza local
    (Universidad Industrial de Santander, 2013) Castro Tirado, Carlos Alfonso; Sabogal Pedraza, Sonia Marleni
    Un espacio topológico X es Autosemejante Topológicamente si todo abierto no vacío contiene un subespacio homeomorfo al espacio X. Sea X un espacio topológico, a e X, diremos que, X es Localmente Autose- mejante Débil notado “LAD” en a € X, si a admite un sistema fundamental de vecindades, cada una de ellas autosemejante. Diremos X es un espacio Localmente Autosemejante Débil notado “LAD”si para todo punto a e X, se tiene que X es localmente autosemejante débil en a. Llamaremos a X un espacio Localmente Autosemejante Fuerte en a € X, si a admite un sistema fundamental de vecindades tal que cada una de ellas es homeomorfa a X. Diremos queX es un espacio Localmente Autosemejante Fuerte “LAF” si para todo a € X, X es localmente autosemejante fuerte en a. Se analiza las implicaciones entre las tres definiciones. Se presentan varios ejemplos y se demuestran algunas propiedades, por ejemplo, que si el espacio es Tl tiene 0,1,2 o infinitos puntos LAF.