CONJUGACIÓN EN SISTEMAS DINÁMICOS NUMERABLES CON ÓRBITA DENSAS

Abstract

Un sistema dinámico (discreto) es un par $(X,f)$ donde $X$ es un espacio métrico compacto y $f: X \to X$ es una función continua. Si además $X$ es numerable, diremos que el sistema $(X,f)$ es un sistema dinámico numerable. Dado un punto $x \in X$, la órbita de $x$ es el conjunto $\{ f^n(x): n \in \N \}$, donde $f^n$ denota la composición de $f$ $n$-veces. Diremos que un sistema $(X,f)$ tiene órbita densa si existe un punto $x \in X$ cuya órbita es densa en $X$. Dados dos sistemas dinámicos $(X,f)$ y $(Y,g)$, diremos que son topologicamente conjugados, si existe un homeomorfismo $\varphi: X \to Y$ tal que $\varphi \circ f = g \circ \varphi$.

En el presente trabajo abordamos principalmente dos aspectos. El primero está relacionado con la existencia de sistemas dinámicos numerables con órbitas densas. En el 2018, los autores de "Cardinality of the Ellis semigroup on compact metric countable spaces", plantean la siguiente pregunta: dado un ordinal numerable $\alpha$, ¿existe un sistema dinámico $(\omega^\alpha + 1, f)$ que tenga una órbita densa? En esta tesis damos una respuesta afirmativa a dicha pregunta. En realidad, demostramos que dado un espacio métrico compacto numerable $X$, existe un sistema dinámico $(X,f)$ con órbita densa.

El segundo aspecto estudiado está relacionado con la complejidad de la relación de conjugación en la clase de sistemas dinámicos numerables con órbitas densas, utilizando herramientas de la teoría descriptiva de conjuntos. En este trabajo abordamos esta cuestión obteniendo cotas superiores e inferiores para este problema de clasificación. Más precisamente, demostramos que la complejidad de la relación de conjugación en esta clase de sistemas está acotada superiormente por la relación $=^+$, correspondiente a la igualdad de subconjuntos numerables del conjunto de Cantor. Asimismo, en el caso particular de $\omega^2 + 1$ probamos que la relación identidad sobre el conjunto de Cantor constituye una cota inferior.