Selección de subsucesiones de funciones usando ideales

Abstract

Un teorema fundamental de la recta es el Teorema de Bolzano Weierstrass que dice que toda sucesión acotada de números reales posee una subsucesión convergente. En este trabajo se mostrarán unas generalizaciones a espacios de funciones de este teorema. Más precisamente, se estudiaron los siguientes resultados: (Teorema de Arzela-Ascoli). Si hfnin∈N es una sucesión de funciones de valores reales, definidas sobre [0, 1], es uniformemente acotada y equicontinua, entonces existe una subsucesión hfnk i k∈N uniformemente convergente. (Teorema de Helly). Si hfnin∈N es una sucesión de funciones monótonas de R en R uniformemente acotada, entonces existe una subsucesión hfnk i k∈N puntualmente convergente. Un ideal I sobre N es un subconjunto de P(N) que es cerrado bajo subconjuntos y uniones finitas, y N ∈ P / (N). En este trabajo se analizó la siguiente cuestión. Dada una sucesión hfnin∈N , como en el Teorema de Helly, considere la colección de subconjuntos de N dada por: H = {A ⊆ N : hfnin∈A es puntualmente convergente}. Para cuáles ideales I se cumple lo siguiente: Para todo A ⊆ N con A 6∈ I, existe B ⊆ A tal que B 6∈ I y B ∈ H. Esta cuestión dio lugar a estudiar la propiedad BW∗ ; se dice que el par (X, I) tiene dicha propiedad, con X un espacio topológico Hausdorff, si dada hxnin∈A una sucesión en X y A /∈ I, existe B ⊆ A tal que B /∈ I y hxnin∈B es convergente.