Análisis teórico de un problema de control óptimo asociado a un sistema de reacción difusión tipo Schnakenberg

Abstract

En este trabajo estudiamos un problema de control óptimo bilineal asociado a un sistema acoplado de ecuaciones de reacción–difusión de tipo Schnakenberg con difusión cruzada. Primero, realizamos un análisis numérico de la ecuación de estado, correspondiente al sistema sin términos de control. Proponemos un esquema numérico basado en el método de los elementos finitos con mass lumping para aproximar sus soluciones y demostramos que el esquema está bien planteado y preserva la positividad de las soluciones discretas. Desde el punto de vista teórico, demostramos la existencia y unicidad de soluciones fuertes para el sistema controlado en dimensiones dos y tres. Posteriormente, probamos la existencia de una solución óptima global para un problema de control óptimo bilineal en el que el control actúa sobre una de las variables del sistema. Además, derivamos condiciones de optimalidad de primer orden haciendo uso de un teorema de existencia de multiplicadores de Lagrange en espacios de Banach. Finalmente, desarrollamos un esquema de aproximación numérica para el sistema de optimalidad basado en el método del gradiente y validamos su efectividad mediante experimentos computacionales que ilustran la influencia del control sobre la dinámica del modelo.