Maestría en Matemática Aplicada

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    Análisis del efecto del término de Hall en hojas de corriente asociadas con erupciones solares
    (Universidad Industrial de Santander, 2023-08-14) Jaimes González, Lizeth Daniela; Lora Clavijo, Fabio Duván; Navarro Noguera, Anamaría; Chaparro Molano, German
    Las erupciones solares son manifestaciones altamente relevantes en la corona solar, ya que estos eventos representan los procesos de liberación de energía más violentos que ocurren en el sistema solar. Actualmente, la reconexión magnética es ampliamente aceptada en la comunidad científica como el mecanismo clave para la liberación de energía, tanto en erupciones solares como en diversos plasmas astrofísicos. A pesar de este consenso, todavía no se conocen completamente los detalles y mecanismos precisos de esta transferencia y conversión de energía. Por esta razón, se han desarrollado varios modelos teóricos que han permitido realizar simulaciones numéricas y contribuir así a la comprensión de la física asociada a estos mecanismos, incluyendo modelos como la magnetohidrodinámica Hall. Con el propósito de realizar un estudio sistemático sobre la influencia del término de Hall en las hojas de corriente asociadas a las erupciones solares, se lleva a cabo una comparación de la morfología, tasas de reconexión, flujo reconectado y energía transferida para los casos con y sin la inclusión del término de Hall en el sistema. Para ello, se realizan simulaciones numéricas de la reconexión magnética en una erupción solar, empleando una hoja de corriente de Harris con una resistividad localizada, en un entorno 2.5D. Además, con el objetivo de establecer un escenario considerablemente realista, se considera la influencia de la gravedad en el sistema. Estas simulaciones se llevan a cabo utilizando el código MAGNUS \citep{pro2}, el cual resuelve las ecuaciones de la magnetohidrodinámica resistiva y con flujo de calor. Por lo tanto, se incluyen los nuevos flujos de Hall en el código, así como el paso de tiempo adaptativo que tiene en cuenta los nuevos modos de onda generados por éste término. En términos generales, se observa que la presencia del efecto Hall en el proceso de reconexión magnética en las erupciones solares produce cambios en la morfología de la hoja de corriente, generando asimetría y regiones de difusión más pequeñas. Además, se ha encontrado que el efecto Hall aumenta la tasa de reconexión, lo cual concuerda con los valores reportados en observaciones y otras simulaciones numéricas. Por último, se ha observado que la presencia del efecto Hall tiene un impacto significativo en los flujos de energía entrantes, resultando en velocidades de hasta 400 km/s y liberaciones de energía del orden de $10^{26}$ erg en los flujos ascendentes. Estos valores son consistentes con los informados para las microerupciones.
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    Representaciones profundas en variedades riemannianas para la cuantificación de patrones oculomotores parkinsonianos
    (Universidad Industrial de Santander, 2023-05-17) Olmos Rojas, Juan Andrés; Martínez Carrillo, Fabio; Caicedo, Juan Carlos; Gómez Jaramillo, Francisco Albeiro
    La enfermedad de Parkinson (PD) es el segundo trastorno neurodegenerativo más común, caracterizado principalmente por alteraciones motoras debido a la degeneración no controlada de los neurotransmisores de la dopamina. En la actualidad, no existe un biomarcador definitivo para el diagnóstico precoz y la caracterización de la progresión. Recientemente, los anomalías de patrones oculomotoras han mostrado evidencias prometedoras para cuantificar la PD, incluso en etapas tempranas. Sin embargo, las configuraciones de captura actuales requieren protocolos sofisticados, limitando el análisis a medidas gruesas que explotan pobremente las alteraciones y restringen su uso estándar en ambientes clínicos. Aunque las estrategias de aprendizaje profundo basadas en computación aportan hoy una alternativa robusta al descubrir en las secuencias de vídeo patrones ocultos asociados a la enfermedad, estos enfoques dependen de grandes volúmenes de datos de entrenamiento para cubrir la variabilidad. Este trabajo introduce una estrategia novedosa que explota la geometría de los datos en una variedad profunda Riemanniana, cuantificando y descubriendo patrones oculomotores de la PD. A partir de una tarea oculomotora de fijación, realizamos un análisis no invasivo utilizando únicamente secuencias de vídeo. La información oculomotora se codifica como matrices simétricas positivas (SPD) que capturan estadísticas de segundo orden a partir de representaciones profundas computadas por esquemas convolucionales. Estas matrices simétricas forman entonces una representación embebida, que es decodificada por un esquema de aprendizaje profundo Riemanniano que preserva la estructura geométrica SPD y discrimina a los pacientes con Parkinson con respecto a una población de control. La estrategia propuesta fue evaluada en grabaciones de fijación ocular en una población de 13 pacientes de Parkinson y 13 controles, logrando una precisión superior al 98%. La estrategia propuesta fue capaz de diferenciar la enfermedad en diferentes etapas y también demuestra resultados coherentes de mapas de explicabilidad propagados a partir de las probabilidades de salida.
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    Análisis teórico y numérico de un modelo matemático con quimioatracción que describe el crecimiento de los glioblastomas cerebrales
    (Universidad Industrial de Santander, 2023-03-01) López Agredo, Jorge Leonardo; Villamizar Roa, Élder Jesús; Rueda Gómez, Diego Armando; Guillén González, Francisco Manuel; Pérez López, Jhean Eleison
    En esta tesis de maestría se desarrollan, en primer lugar, el análisis numérico de un sistema parabólico de PDE que describe la estructura de proliferación-invasión de células gliales hipóxicas en el cerebro. Explícitamente, se propone un esquema numérico completamente discreto, basado en una discretización de Euler semi-implícita en el tiempo y una discretización de Elementos Finitos (FE) en el espacio, para aproximar las soluciones del modelo continuo. Para este esquema numérico se demuestran algunas propiedades, incluida la buena posición, positividad, principio máximo, estimaciones uniformes, convergencia hacia soluciones débiles, estimaciones óptimas del error y comportamiento asintótico de las soluciones discretas. Finalmente, se presentan algunas simulaciones numéricas. En segundo lugar, se considera un modelo PDE bidimensional que describe la estructura de proliferación-invasión de células gliales hipóxicas en el cerebro en el que el movimiento celular está determinado no solo por la difusión natural sino también por el gradiente de concentración de oxígeno. Este modelo está dado por un sistema no lineal de segundo orden que involucra la densidad de células cancerosas y la concentración de oxígeno, los cuales están acoplados por un término de quimioatracción, una fuente de crecimiento logístico y un término de reacción de tipo Michaelis-Menten. La contribución de esta segunda parte al estado del arte se resume en los siguientes dos aspectos principales: primero,se demuestan la existencia y unicidad de las soluciones fuertes; y segundo, se propone una aproximación de elementos finitos (FE) completamente discreta no lineal para el modelo. Se prueba su buena postura, estimaciones uniformes, la positividad para la concentración discreta de oxígeno y la positividad aproximada para las células tumorales discretas, que se requieren en este modelo biológico. El punto clave para desarrollar el análisis numérico es controlar adecuadamente el término de quimiotaxis no lineal de segundo orden y obtener una estimación de energía discreta que, en particular, dé una energía acotada; que se hace mediante el uso de una técnica de regularización. Finalmente, se presentan algunas simulaciones numéricas que permiten validar los resultados teóricos obtenidos.
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    Influencia de la polarización magnética en la dinámica del plasma en el jet de la radiogalaxia M87
    (Universidad Industrial de Santander, 2023-01-31) Arrieta Villamizar, Jesús Andrés; Lora Clavijo, Fabio Duván; Pimentel Díaz, Óscar Mauricio; Martí Puig, Jose María; Mendoza Ramos, Sergio
    Los jets relativistas presentes en diferentes escenarios astrofísicos como quásares, blazares o radiogalaxias forman parte de los fenómenos más energéticos del universo. Las zonas observadas en estos flujos, con aparentes partículas superlumínicas, se interpretan como ondas de choque en propagación. Un mecanismo que puede producir estas ondas proviene de los campos magnéticos que rodean el jet. Sin embargo, aún no se han realizado sufientes estudios sobre la interacción de la magnetización con el material del jet. Por lo tanto, es relevante considerar los campos magnéticos inducidos por la polarización de la materia en regiones dominadas magnéticamente. En este trabajo, se resuelven numéricamente las ecuaciones de la magnetohidrodinámica ideal en relatividad especial, con términos de polarización magnética, y con pérdidas radiativas del gas que interactúa con un medio externo. Particularmente, se analiza la influencia de la polarización magnética en la estructura de choques del sistema, donde se encontró que las primeras ondas que aparecen en las soluciones numéricas son más rápidas en los materiales diamagnéticos que en los paramagnéticos. Además, la expansión del gas ocurre abruptamente en las etapas iniciales de eyección debido a las velocidades relativistas con las que se propaga. Finalmente, al considerar pérdidas radiativas, la potencia emitida es mayor en un plasma paramagnético en relación al diamagnético o el no polarizado, donde se concluye que los materiales paramagnéticos, al viajar más lento, son menos eficientes porque irradian más energía y se enfrían más rápido.
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    Simulación del mapa de intensidades en discos de acreción magnéticamente polarizados alrededor de agujeros negros de Kerr
    (Universidad Industrial de Santander, 2022-11-13) Velásquez Cadavid, Juan Manuel; Lora Clavijo, Fabio Duván; Pimentel Díaz, Óscar Mauricio; González Villegas, Guillermo Alfonso; Cruz Osorio, Alejandro
    Los campos magnéticos presentes en los discos de acreción alrededor de agujeros negros están asociados con procesos de acreción y amplificación de energía. El aporte del campo magnético debido a la polarización magnética del material induce efectos sobre las propiedades físicas del medio que repercuten en la radiación proveniente de los discos de acreción. Por ende, a partir de las observaciones sería posible determinar el impacto generado por la polarización magnética en el perfil de emisión y establecer posteriormente las propiedades del agujero negro. Como primer paso se reprodujo la ecuación de la transferencia radiativa, a partir de la cual se calculó la intensidad específica para cada fotón emitido desde el disco. Posteriormente, se realizaron simulaciones para llevar a cabo un análisis sistemático de los posibles efectos observables producidos por las propiedades magnéticas de un toro alrededor de un agujero negro de Kerr. Se encontró que al considerar radiación sincrotrón no térmica, los efectos de la polarización magnética son insignificantes cuando el plasma está dominado por la presión del gas. Sin embargo, cuando los discos están dominados por la presión magnética, a medida que disminuye la magnetización la emisión se intensifica. En particular, se encontró una tendencia en la cual los discos paramagnéticos más intensamente en relación al caso de Kommisarov, y que estos a su vez emiten mayor intensidad que los discos diamagnéticos. Además, se encontró que la compacidad del disco cambia con la susceptibilidad magnética, siendo los discos paramagnéticos más compactos que los discos de Komissarov, y estos últimos más compactos que los diamagnéticos. Esto conlleva a que los discos diamagnéticos emitan un mayor flujo dado que cada fotón tiene mayor camino óptico para viajar dentro del disco. Asimismo, al aumentar la magnetización también aumenta el flujo emitido, puesto que se desprecian los efectos de la susceptibilidad magnética.
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    Análisis teórico y numérico de EDP con difusión cruzada describiendo dinámicas poblacionales en fluidos
    (Universidad Industrial de Santander, 2022-09-15) Beltrán Larrotta, Carlos Mateo; Rueda Gómez, Diego Armando; Villamizar Roa, Élder Jesús; Rodríguez Bellido, María Ángeles; Perez Lopez, Jhean Eleison
    Este trabajo está dedicado al análisis teórico y numérico de un modelo de quimiotaxis-Navier-Stokes considerando dos especies de organismos con una dinámica competitiva descrita por términos de competencia del tipo Lotka-Volterra en un dominio acotado de Rd , d = 2, 3. Primero, estudiamos la existencia de soluciones débiles globales y establecemos un criterio de regularidad que proporciona condiciones suficientes para asegurar la regularidad fuerte de las soluciones débiles. Luego, proponemos un esquema numérico basado en el método de elementos finitos en el que usamos una técnica tipo splitting obtenida introduciendo una variable auxiliar dada por el gradiente de la concentración química y aplicando una estrategia inductiva, para tratar los términos de quimioatracción en las ecuaciones de las dos especies de organismos y probar estimaciones de error óptimas. Para este esquema, estudiamos el buen planteamiento y obtuvimos algunas estimaciones uniformes para las variables discretas requeridas en el análisis de convergencia. Finalmente, presentamos algunas simulaciones numéricas orientadas en comprobar el buen comportamiento de nuestro esquema, así como para comprobar numéricamente las estimaciones de error óptimas probadas en nuestro análisis teórico.
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    Estudio teórico y numérico de un modelo de quimiotaxis doble en fluidos
    (Universidad Industrial de Santander, 2022-09-12) Jiménez Jerez, Sergio Andrés; Pérez López, Jhean Eleison; Rueda Gómez, Diego Armando; Villamizar Roa, Élder Jesús; de Freitas Ferreira, Lucas Catão
    En este trabajo se estudia teórica y numéricamente un modelo matemático con doble término de quimiotaxis, acoplado con las ecuaciones de Navier-Stokes. Para la parte teórica, considerando todo el espacio RN con N ≥ 2, se usan nuevas estimativas producto para demostrar la existencia y unicidad de solución blanda para datos pequeños en espacios críticos de Besov-Herz débiles; también se trabaja la autosimilaridad y el comportamiento asintótico de las soluciones. Para la parte numérica, se considera un dominio acotado de R2, sobre el cual se aplica el método de reciprocidad dual (MRD) para aproximar, inicialmente, las ecuaciones de Navier-Stokes, y posteriormente, el modelo de quimiotaxis doble en fluidos.
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    Dinámica del Plasma en la Atmósfera Solar con Términos Radiativos
    (Universidad Industrial de Santander, 2022-09-04) Bautista Torres, Carlos Andrés; Lora Clavijo, Fabio Duván; Becerra Vergara, Eduar Antonio; Navarro Noguera, Anamaría
    La generación de radiación es un fenómeno que se da en todas las capas del Sol, desde el núcleo mediante fusión nuclear, hasta la corona solar con su espectro de emisión. Dicha radiación juega un papel importante en el estudio de la atmósfera solar y las diferentes estructuras que se forman en esta región, tales como fulguraciones, arcadas coronales y el calentamiento coronal. Esto se debe a que la interacción materia-radiación abunda, especialmente en la fotosfera, donde el plasma está en equilibrio térmico local y la pérdida de calor por radiación no es despreciable. Para determinar la influencia de la radiación en la atmósfera solar, en este trabajo se realizó un análisis de la propagación de ondas magnetohidrodinámicas no lineales, considerando términos radiativos. Particularmente, se estudió la propagación de ondas de gravedad y la oscilación de ondas de Alfvén; el primer fenómeno enfocado en la atmósfera inferior y el segundo en arcadas coronales. Para modelar dichos fenómenos, se utilizó un código que resuelve las ecuaciones de la magnetohidrodinámica, el código MAGNUS, al cual se le incorporó un módulo para resolver la ecuación de transferencia de radiación considerando las teorías de opacidad bound-free y scattering. Con el fin de verificar el correcto funcionamiento del nuevo módulo, se realizaron pruebas numéricas en el régimen isotérmico, y considerando un perfil analítico de la temperatura. Finalmente, se determinó la influencia de los términos radiativos en la atmósfera solar, obteniendo pérdidas de energía de hasta 28.7% en la propagación de ondas de gravedad, dando evidencia de la gran importancia de considerar pérdidas de calor por radiación en simulaciones de la atmósfera baja.
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    Diseño de un diccionario espacio espectral para la representación escasa de imágenes espectrales
    (Universidad Industrial de Santander, 2022-03-30) Arias Rojas, Kevin Ademir; Argüello Fuentes, Henry; Meneses Fonseca, Jaime Enrique; Ramírez, Juan Marcos
    Los sistemas para la adquisición de imágenes hiperespectrales (HS del inglés hyperspectral imaging) son útiles en un rango diverso de aplicaciones que implican tareas de detección y clasificación. En este proceso de adquisición existen problemas de distorsión de imagen, los cuales han sido abordados de forma computacional asumiendo escasez como un conocimiento previo para regularizar el espacio de solución. En esta dirección, una base de representación muy conocida tal como el diccionario espacio-espectral separable es aprendido con características espaciales y espectrales de imágenes naturales. Tradicionalmente, cada elemento del diccionario o átomo es calculado como un producto entre átomos de diccionarios espacial y espectral independientes. Específicamente, el diccionario final contiene átomos espacio-espectrales donde las características espaciales son aprendidas solo de muestras espaciales y de igual manera, las características espectrales solo de muestras espectrales. Sin embargo, el aprendizaje de un diccionario separable ignora la correlación entre la información espacial y espectral de imágenes naturales. Este trabajo propone un diccionario espacio-espectral conjunto donde cada uno de sus átomos son aprendidos a partir de información espacial y espectral conjunta. Es decir, cada muestra en la etapa de aprendizaje del diccionario está compuesta de información espacial y espectral de forma simultánea. Los resultados experimentales con datos reales muestran que el diccionario propuesto supera los diccionarios del estado del arte para obtener una representación más escasa aumentando la calidad de reconstrucción de la imagen.
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    Construcción de un código MHD con dos fluidos para el estudio de la dinámica del plasma en la atmósfera solar
    (Universidad Industrial de Santander, 2022-03-30) Wandurraga Sanabria, Paula Camila; Lora Clavijo, Fabio Duván; Pimentel Díaz, Óscar Mauricio; Ballester Mortes, José Luis
    Los fluidos parcialmente ionizados abundan en el universo en estructuras como las nubes moleculares, ionósferas planetarias y discos protoplanetarios, además de algunas capas terrestres como la ionósfera y la termósfera, y particularmente en el caso de la atmósfera solar, en la región de la cromósfera. En esta zona del Sol, ocurren diferentes fenómenos como las espículas, las oscilaciones periódicas de 3 minutos, los \textit{loops} fríos, las prominencias, entre otros, haciendo que su estudio sea de gran interés. En este trabajo de investigación, se construye un código que resuelve las ecuaciones de la Hidrodinámica y de la Magnetohidrodinámica, con el fin de modelar un plasma parcialmente ionizado, constituido por una especie neutral y una especie cargada (iones + electrones), que se acoplan por medio de colisiones y generan calor debido a su interacción. Para garantizar la correcta implementación de las ecuaciones y de los métodos numéricos, se realizan diferentes pruebas numéricas: la primera se lleva a cabo en el régimen lineal y consiste en la propagación de ondas acústicas en un medio uniforme, para la cual existe una solución exacta bajo determinadas condiciones. El resultado numérico obtenido con el código, reproduce de manera exacta y precisa la solución analítica, para un valor dado del parámetro de colisiones. Posteriormente se realiza una prueba no lineal unidimensional, el tubo de choque, cuya solución exacta es conocida tanto para un fluido Hidrodinámico (tubo de Sod), como para uno Magnetohidrodinámico (tubo de Brio-Wu), es decir, para un plasma parcialmente ionizado desacoplado. La solución arrojada por el código para un plasma desacoplado, es consistente con la analítica, y para el caso de un plasma acoplado, se observa que las colisiones modifican la estructura de cada fluido, para que converja a una misma solución. Por otra parte, la última prueba no lineal se desarrolla en dos dimensiones, el vórtice de Orszag-Tang, cuyos resultados para el plasma desacoplado, simulan favorablemente la morfología típica de la prueba. El caso acoplado demuestra la influencia indirecta del campo magnético sobre las partículas neutrales, y de estas últimas sobre la dinámica del fluido ionizado. Adicionalmente, como aplicación del código en física solar, se realiza un modelo de la inestabilidad de Kelvin-Helmholtz en la interfaz entre la corona solar y una prominencia, cuyo material está parcialmente ionizado. Los resultados muestran que un acople más fuerte entre los fluidos, conlleva a una mayor amplificación de los campos magnéticos, siendo ésta una de las posibles causas del calentamiento coronal y de la aceleración de las partículas del viento solar. Se concluye que, tanto en las pruebas numéricas, como en la aplicación física, las colisiones entre las partículas cargadas y las neutrales, acoplan el sistema, de tal manera que su evolución converge hacia una solución tipo atractora, donde ambas especies tienden a un mismo comportamiento. Esto se presenta debido a que los campos magnéticos actúan indirectamente sobre las partículas neutrales mediante las colisiones, y estas transfieren parte de su energía cinética al fluido cargado, disminuyendo el efecto tipo tensión superficial que presenta el campo magnético, lo que implica que la especie neutral suavice su morfología y que la especie cargada se inestabilice.
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    Caracterización de patrones de la enfermedad de Parkinson usando modelos de aprendizaje de máquina
    (Universidad Industrial de Santander, 2021) Guayacán Chaparro, Luis Carlos; Martínez Carrillo, Fabio; Vanegas Arroyave, Marta Isabel; Cifuentes de la Portilla, Christian J.
    La enfermedad de Parkinson (EP) carece de un diagnóstico definitivo, siendo la observación de los patrones de movimiento el principal análisis para caracterizar el progreso de la enfermedad y planificar los tratamientos de los pacientes. Entre las observaciones de la EP, los patrones de movimiento de la marcha, como la longitud de los pasos y el control postural, apoyan la caracterización de la enfermedad. Sin embargo, este análisis es usualmente cuantificado con protocolos basados en marcadores, reduciendo la descripción de la marcha y omitiendo patrones locales durante la locomoción. Este trabajo introduce dos aproximaciones computacionales para el soporte del análisis y diagnóstico del párkinson. Primero se propuso un método computacional sin marcadores basado en una caracterización cinemática completa de los segmentos corporales relacionados con las alteraciones motoras de la EP. En un segundo aporte de este trabajo se obtuvo una representación convolucional 3D de la marcha en un contexto de clasificación automática de la EP, destacando patrones espacio-temporales aprendidos para esta tarea. Estos enfoques permiten obtener modelos que clasifican secuencias sin marcadores y describen las principales regiones espacio-temporales asociadas a patrones anormales relacionados con la EP. Estos métodos se evaluaron en un conjunto de 11 sujetos control y 11 pacientes con EP. La representación cinemática fue validada en un esquema de clasificación utilizando diferentes modelos preentrenados, logrando una precisión media de 99,62% para las regiones de los miembros inferiores y la cabeza. Mientras, para la representación convolucional los mapas de saliencia resultantes destacaron los patrones de las extremidades inferiores de los pacientes con EP, y de la cabeza y el tronco de los sujetos control, logrando una precisión de 94,89%.
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    Estudio de la aceleración ciclotrónica autoresonante de electrones por modos cilíndricos TE01p
    (Universidad Industrial de Santander, 2021) Otero Olarte, Oswaldo; Herrera Rodríguez, Ana María; Orozco Ospino, Eduardo Alberto; Mikhailov, Ilia Davidovich; Torres Amarís, Rafael Ángel
    Los electrones pueden acelerarse bajo la influencia de una onda electromagnética (OEM) transversal eléctrica (TE) y un campo magnético externo homogéneo. En el caso de una OEM estacionaria, si la frecuencia de rotación del electrón coincide con la frecuencia de dicha onda, tiene lugar el fenómeno de resonancia ciclotrónica electrónica (ECR). En condiciones ECR, el campo de microondas transfiere energía al electrón. Para OEM viajeras o estacionarias, puede presentarse el fenómeno de autoresonancia ciclotrónica, donde la acción del campo magnético externo garantiza que haya resonancia. Se presenta un estudio teórico y computacional de la aceleración ciclotrónica resonante y autoresonante por el modo cilíndrico TE01p en presencia de campos magnéticos estáticos: homogéneos y no homogéneos, y homogéneos variables en el tiempo. Se toman como base dos mecanismos: Spatial AutoResonance Acceleration (SARA) y GYro-Resonant ACcelerator (GYRAC), que utilizan un campo magnetostático no homogéneo y un campo magnético variable en el tiempo, respectivamente. Para comprender la interacción onda-partícula, se descompone localmente el campo eléctrico de microondas, como la superposición de dos ondas polarizadas circularmente. La trayectoria, la energía y la diferencia de fase se determinan mediante la solución numérica de la ecuación relativista de Newton-Lorentz, utilizando un esquema en diferencias finitas. Utilizando una intensidad de 14 kV/cm a una frecuencia de 2:45 GHz, los electrones inyectados con 4 keV en el sistema SARA-TE011 alcanzan una energía de 183 keV, un 13:5% mayor respecto del obtenido utilizando campo homogéneo. Con el sistema GYRAC-TE011 y una intensidad de 1 kV/cm se alcanzaron energías del orden de los MeV. Este estudio sirve de base para el desarrollo de fuentes de radiación: Con SARA-TE011 podrían generarse rayos X blandos, mientras que con GYRAC-TE011 podría desarrollarse una fuente de radiación sincrotrónica.
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    Algoritmo de optimización para recuperar una señal compleja a partir de patrones de difracción codificados en cristalografía de rayos X
    (Universidad Industrial de Santander, 2021) Angarita Pallares, Jhon James; Pinilla Sánchez, Samuel Eduardo; Argüello Fuentes, Henry; Henao Martínez, José Antonio; Rueda Chacón, Hoover Fabián
    La recuperación de la fase (PR, de sus siglas en inglés Phase Retrieval) es un problema presente en muchas aplicaciones como óptica, imágenes astronómicas, biología computacional y cristalografía de rayos X (XC, de sus siglas en inglés X-ray Crystallography). Este último es el objeto de estudio de este proyecto. PR en cristalografía de rayos X es un problema inverso mal condicionado que consiste en recuperar una señal compleja a partir de medidas de intensidad sin fase capturadas en un sensor óptico. Recientemente, se ha demostrado que una señal en XC se puede representar de forma escasa en el dominio de Fourier. Este hecho implica que el número de medidas de intensidad requeridas para recuperar la fase en XC está determinada por la escasez de la señal en el dominio Fourier, la cual es mucho más pequeña que el tamaño de la misma. Sin embargo, la complejidad computacional de los algoritmos para recuperar la fase aún depende del tamaño de la señal a reconstruir, lo que implica una mayor complejidad computacional y elevados tiempos de cómputo. Por lo tanto, este trabajo propone un algoritmo de reconstrucción que explota la escasez de la señal al agrupar conjuntos de píxeles en su representación escasa, llamados súper-píxeles, con el fin de reducir el número total de incógnitas en el problema inverso. De esta forma, disminuir sustancialmente el costo computacional de su reconstrucción.
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    Análisis matemático de un modelo de haptotaxis para invasión tumoral
    (Universidad Industrial de Santander, 2021) Niño Celis, Viviana; Rueda Gómez, Diego Armando; Villamizar Roa, Elder Jesús; Cabrales, Roberto Carlos; Lora Clavijo, Fabio Duván
    Se estudia un modelo matemático para la invasión tumoral en un dominio acotado d-dimensional, d _x0014_3. Este modelo consiste en un sistema de ecuaciones diferenciales que describen la evolución de la densidad de las células cancerígenas, la densidad de las proteínas de la matriz extracelular y la concentración de enzimas degradantes. Se plantean y se analizan dos esquemas totalmente discretos para aproximar las soluciones, basados en una discretización de Euler semi-implítica en el tiempo y una discretización por elementos finitos en el espacio. Para el primer esquema numérico se introduce una nueva variable dada por el gradiente de la matriz extracelular, permitiendo tratar el término de haptotaxis presente en la ecuación de la densidad de células cancerígenas. Este esquema está bien planteado y conserva la no negatividad de la matriz extracelular y la enzima degradante; se realiza un análisis de error para este esquema de aproximación numérica. El segundo esquema numérico se plantea a través de un cambio variable en la ecuación de densidad de las células cancerígenas. Este segundo esquema numérico está bien planteado y preserva la no negatividad de todas las variables discretas. Finalmente, se realizan algunas simulaciones numéricas que son consistentes con los resultados obtenidos en el análisis teórico.