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Existencia global y comportamiento asintótico de soluciones para un sistema de quimiotáxis-Navier-Stokes en el contexto fraccionario

Resumen

El presente trabajo está dirigido al estudio de un modelo de quimiotaxis-NavierStokes fraccionario, en todo el espacio RN, N ě 2, con una variación temporal fraccionaria en el sentido de Caputo, una autodifusión fraccionaria para las variables físicas y un mecanismo de disipación fraccionaria para el proceso de quimioatracción. Se inicia con una breve introducción, en la cual se presentan algunos elementos que motivan el planteamiento del problema y se exponen algunos resultados que han sido obtenidos previamente para el modelo clásico (sin régimen fraccionario). En el primer Capítulo, se introducen algunas definiciones y resultados preliminares que se usan en el desarrollo del trabajo; se presenta la definición de los espacios de Morrey y de Besov-Morrey, se mencionan algunas de sus propiedades y también se presentan algunas nociones relevantes del cálculo fraccionario. Al final del capítulo, se hace una deducción de la formulación integral para un problema de Cauchy abstracto con derivada temporal de orden fraccionario en el sentido de Caputo. En el Capítulo 2, se presenta una descripción del modelo, se define el marco funcional para los datos iniciales y las variables involucradas y, además, se introduce la formulación integral del modelo de Cauchy asociado. Luego, se derivan algunas estimativas de decaimiento en tiempo para los operadores de Mittag-Leffler y posteriormente, se calculan algunas estimativas bilineales, las cuales son necesarias para demostrar los principales resultados de este trabajo. Finalmente, en el Capítulo 3, a partir de las estimativas calculadas previamente, se prueba un nuevo resultado de existencia y unicidad de soluciones mild globales con datos iniciales pequeños en espacios de Besov-Morrey. Así mismo, se prueba un resultado de estabilidad asintótica para las soluciones globales obtenidas.