Estudio de las superficies de Delaunay

Abstract

Este trabajo presenta un estudio de las superficies de Delaunay, una familia clásica de superficies de revolución caracterizadas por tener curvatura media constante. El interés principal es comprender cómo estas superficies surgen a partir del rodamiento sin deslizamiento de una cónica sobre una recta y de la trayectoria descrita por uno de sus focos, destacando la relación entre la geometría de las curvas generatrices y las superficies obtenidas. Para desarrollar esta idea, se introducen primero las herramientas básicas de la geometría diferencial de superficies, necesarias para estudiar con detalle la geometría local de las superficies obtenidas por revolución. Posteriormente, se construyen las ruletas asociadas a la parábola, la elipse y la hipérbola. A partir de ellas se obtienen, respectivamente, la catenaria, las ondularias y las nodarias, cuyas rotaciones alrededor del eje de rodamiento generan el catenoide, el onduloide y el nodoide. Finalmente, se presenta el teorema de clasificación de Delaunay, que permite identificar las superficies de revolución completas con curvatura media constante. El trabajo concluye con una revisión de algunas aplicaciones actuales de estas superficies, especialmente en el estudio de puentes capilares, superficies CMC completas con extremos de Delaunay y modelos geométricos relacionados con membranas biológicas y la energía de Willmore-Helfrich.