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Cuatro nociones de derivada

Resumen

En este trabajo hacemos una revisión de la noción de derivada, por la cual presentamos las definiciones de derivada de Gâteaux, Frechet, Caratheodory y Hadamard. En primer lugar presentamos en orden cronologico los comienzos y el desarrollo de la noción de diferencial. En el capítulo 2 tratará la derivada dereccional o derivada de Gåteux, para ello se tomará como punto de partida la variación de Gåteux o derivada débil. Se establece la equivalencia entre la derivada de Gåteux y la derivada usual; también se muestran algunos ejemplos que ilustran la razón de la debilidad de la variación de Gâteux y como derivar según esta definición. En el capítulo 3 se presenta la derivada de Frechet, o derivada total, con su respectiva extención a funciones vectoriales, se demuestra que una función diferenciable según Fréchet es diferenciable según Gâteux, pero la reciproca es falsa. En el capítulo 4 aparece la definición de derivada que dió Constantine Carathedory en su libro "Theory of a Complex Variable " y su correspondiente extensión a funciones vectoriales dada por Acosta y Delgado en [2]; además, se establece la equivalencia entre las definiciones de derivada dadas por Frechety Carathédory. En el capitulo 5 presentamos la derivada de Hadamard, se establecen resultados acerca de las derivadas de Gâteaux, Fréchet, Hadamard y la usual; se finaliza mostrando que las derivadas de Fréchet y Hadamard no son equivalentes cuando trabajamos en un espacio vectorial normado de dimensión finita.