Aspectos de la cohomología de De Rham

Abstract

Este trabajo tiene interés en el cálculo de los grupos de cohomología de De Rham de una variedad, usando las relaciones que existen entre los grupos de cohomología de una variedad y los grupos de dos subconjuntos abiertos que la cubran, denominado como teorema de Mayer-Vietoris, así como, la invarianza de los grupos de cohomología bajo homotopías. Las variedades estudiadas son la n-esfera, el n-toro y el n-espacio real proyectivo. Se abarca la teoría de funciones diferenciables definidas sobre una variedad suave M que asocian a cada punto p un k-tensor alternante covariante sobre (T_pM)^∗, estas funciones reciben el nombre de k-formas y el conjunto de formas diferenciables se denota como Ω^∗(M). La noción de derivada se puede extender a las k-formas a partir del concepto de derivada exterior, determinada como el único operador d:Ω^∗(M) → Ω^∗(M) lineal tal que d^2 = 0 y dada una 0-forma f se tiene que df es el diferencial de f. Decimos que una k-forma α es cerrada si dα = 0 y exacta si existe ν una (k − 1)-forma tal que dν = α. A partir de las definiciones se tiene que toda k-forma exacta es cerrada, lo cual motiva a preguntarse si se cumple el reciproco de la anterior proposición, ante la negativa de esta pregunta se motiva a definir los siguientes espacios, para cada entero k, el k-ésimo grupo de cohomología de De Rham es, H^k_{dR}(M) = {k-formas cerradas} / {k-formas exactas}