Identidades polinomiales graduadas para el álgebra de matrices triangulares superiores de orden 2

Abstract

Este trabajo de grado desarrolla un estudio sistemático de las identidades polinomiales en álgebras, con énfasis en el caso de álgebras graduadas y, en particular, en el álgebra de matrices triangulares superiores de orden dos UT2(F). En una primera parte, se presentan los conceptos preliminares de la teoría de álgebras, incluyendo definiciones básicas, ejemplos representativos, así como nociones fundamentales como homomorfismos, ideales y álgebras libres, con el fin de establecer el marco teórico necesario.

Posteriormente, se introduce la teoría de identidades polinomiales, abordando sus definiciones, ejemplos y la noción de T-ideales, herramienta esencial para el estudio estructural de las identidades que satisface un álgebra. A continuación, se extiende este análisis al contexto de álgebras graduadas, desarrollando sus definiciones, ejemplos y el estudio de identidades polinomiales graduadas, centrando la atención en el caso particular de UT2(F), que constituye el objeto principal de investigación.

Seguidamente, se analizan los polinomios multilineales y su relevancia en la caracterización de identidades polinomiales, destacando su papel en la reducción y simplificación de los problemas considerados. Finalmente, tras introducir diversas definiciones, lemas y resultados auxiliares, se alcanza el objetivo central del trabajo: la demostración de un teorema principal que describe de manera explícita un sistema generador de las identidades polinomiales graduadas del T2-ideal de UT2(F). Este teorema constituye el principal aporte del trabajo, ya que no solo sintetiza las herramientas desarrolladas previamente, sino que también proporciona una caracterización precisa de la estructura de dichas identidades, consolidando así el estudio del comportamiento algebraico de UT2(F) en el contexto graduado.