Teoría de Galois y el teorema fundamental del álgebra

Abstract

El Teorema Fundamental del Algebra establece que todo polinomio de coeficientes com- ´ plejos tiene una ra´ız compleja. En otras palabras, el teorema asegura que el cuerpo de los n´umeros complejos (C) es algebraicamente cerrado. Este trabajo consiste dar una prueba detallada del Teorema Fundamental del Algebra ´ basados en la teor´ıa de Galois. En el primer cap´ıtulo se abordar´an algunos conceptos b´asicos de teor´ıa de conjuntos como la definici´on de ret´ıculo y anti-isomorfismos de ret´ıculos; tambi´en encontraremos el teorema de Sylow para grupos finitos el cual es de mucha ayuda en la prueba del teorema. En el segundo cap´ıtulo se proporcionaran los conceptos de extensiones normales y separables de campos, necesarios para definir que es una extensi´on de Galois y con ello la construcci´on del grupo de Galois. En el tercer cap´ıtulo presentaremos la Teor´ıa de Galois donde la idea principal es asociar las extensiones de Galois con el grupo de Galois y mostrar su interacci´on en los diferentes resultados del Teorema Fundamental de la Teor´ıa de Galois. En el ultimo cap´ıtulo mostramos una aplicaci´on de la teor´ıa de Galois en dimensi´on infinita con ayuda de lo aprendido en el tercer cap´ıtulo y la concepci´on de sistema inverso de grupos.