Los buenos órdenes y el problema de la predicción

Abstract

Un conjunto se dice bien ordenado si cada uno de sus subconjuntos no vacíos posee un elemento mínimo. De acuerdo con el teorema de Zermelo (el cual es un resultado equivalente al axioma de elección), todo conjunto puede ser bien ordenado. El objetivo de este trabajo es estudiar cómo la existencia de un buen orden en un espacio de funciones permite abordar un tipo de problema de predicción, en el que se busca determinar el valor de una función arbitraria v en un instante t (o en un intervalo posterior [t, t + ϵ)) conociendo únicamente su comportamiento pasado.

En esta tesis, estudiamos la estrategia μ propuesta por C. Hardin y A. Taylor, la cual selecciona la función más "simple'' (el elemento mínimo bajo un buen orden) que concuerda con los valores previos. En primer lugar, presentamos el problema de los sombreros como una motivación fundamental. Analizamos cómo el uso del axioma de elección permite que, en el caso infinito, el conjunto de aciertos tenga medida de Lebesgue completa.

Posteriormente, demostramos la efectividad de la estrategia μ para predecir el valor de una función en un instante t (lo que posteriormente denominamos predecir el presente) y también en un intervalo de instantes posteriores a él. Probamos que el conjunto de errores resultante es "pequeño'' en un sentido topológico: es numerable, tiene medida de Lebesgue cero y es denso en ninguna parte. Un aporte relevante de este trabajo es el análisis en funciones continuas, donde demostramos que la continuidad de una función garantiza una predicción del presente sin errores. Finalmente, exploramos un refinamiento del problema donde solo se conoce un pasado reciente o infinitesimal. Verificamos que, incluso con esta información reducida, la predicción es exitosa en un conjunto de medida completa.