Sobre los operadores nucleares y operadores compactos

Abstract

En 1955 el matemático Alexander Grothendieck introduce los operadores nucleares en su artículo Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires, con el fin de generalizar los operadores de clase-trazo definidos en espacios de Hilbert. Una serie de trabajos a partir de entonces centraron su atención en el estudio de los operadores nucleares definidos en espacios de funciones. Este trabajo consiste en estudiar algunos conceptos y definiciones sobre operadores nucleares relacionandolos con la teoría de operadores compactos. En el primer capítulo se abordarán algunos resultados previos necesarios en el desarrollo del proyecto en capítulos posteriores, por ejemplo teoremas fundamentales sobre operadores compactos, forma polar de un operador y la integral de Bocnher. En el segundo capítulo se definirá el concepto de operador nuclear y de norma nuclear, se presentan y demuestran una serie de teoremas que muestran la relación existente entre los operadores nucleares y los operadores compactos y se estudian los operadores nucleares en espacios de Hilbert. En el tercer capítulo se establece la teoría necesaria para la demostración del teorema principal, el cual es la no existencia de un isomorfismo entre el espacio N (C(Q)) (espacio de operadores nucleares sobre C(Q)) y un subespacio de K(C(Q′ )) (espacio de operadores compactos sobre C(Q′ )), siendo Q y Q′ espacios métricos compactos y numerables.