Una unificación de los teoremas fundamentales del Análisis Funcional

Abstract

Este trabajo de grado se enmarca en el área del Análisis Funcional y se centra en el estudio de tres de los teoremas fundamentales: el Principio de Acotación Uniforme (PA), el Teorema de la Aplicación Abierta (AA), el Teorema del Gráfico Cerrado (GC) y el Teorema de Hahn-Banach (HB). Tradicionalmente, se conoce que las demostraciones de los tres primeros (PA, AA y GC) dependen del Teorema de Categoría de Baire, mientras que el Teorema de Hahn-Banach requiere del Lema de Zorn, lo cual sugiere independencia entre ambos grupos. Partiendo de esta distinción, el presente trabajo aborda la pregunta natural de si el Teorema de Hahn-Banach (HB) puede, de hecho, implicar a los otros teoremas. Esta cuestión fue explorada de manera pivotal por Walter Roth en su artículo "A combined approach to the fundamental theorems for normed spaces", donde se demuestra que el Teorema de Hahn-Banach sí implica el Principio de Acotación Uniforme y el Teorema de la Aplicación Abierta (y, por consiguiente, su equivalente, el Teorema del Gráfico Cerrado). El objetivo principal de esta tesis es realizar un análisis detallado de los resultados presentados por Roth, con un enfoque específico en comprender y desglosar la prueba de que el Teorema de Hahn-Banach implica el Principio de Acotación Uniforme y el Teorema de la Aplicación Abierta.