La característica de Euler

Abstract

Esta monografía es una recopilación bibliográfica basada en un libro guía llamado Basic concepts of algebraic topology realizándola en tres capítulos. El primer capitulo llamado “simplejos y complejos geométricos” se inicia con las definiciones mas sencillas de poliedro, puntos geométricamente independientes para llegar a conceptos más elaborados como son los simplejos, los complejos geométricos y sus propiedades. Estos conceptos son basados en estructuras de grupo topológicas, realizando ejemplos claros para su mejor comprensión. Donde encontramos de forma analítica e ilustrativa como se realiza la triangulación de cualquier figura, tomando como modelo el toro, la banda de Möbius y la n-esfera. También encontramos al final del capítulo propiedades de simplejos y complejos geométricos como las orientaciones y sus diferentes maneras de simbolizarlas. Iniciamos en el segundo capítulo reconociendo definiciones claves como: cadenas, ciclos, fronteras, las cuales son de gran importancia para definir los grupos de homología de un complejo, en donde intuitivamente hablando describen el arreglo de los simplejos en los complejos, así que nos cuentan acerca de los “huecos” en el poliedro asociado. En el tercer capítulo encontramos inicialmente un teorema de suma importancia, el cual es el teorema de “Euler-Poincaré” realizando la demostración de la forma más explicita posible, para llegar al teorema más importante el cual es un famoso resultado descubierto por Euler en 1752 dice que si K es un poliedro homeomorfo a la 2-esfera S2 ( K es una triangulación de la 2-esfera) con V vértices, A aristas y C caras entonces