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El anillo de los enteros algebraicos y dominios de dedekind

Resumen

La teoría de los números algebraicos se desarrolló en gran parte gracias al Último Teorema de Fermat. Varios matemáticos importantes del siglo XIX, entusiasmados por encontrar la prueba de este teorema (que para entonces era una conjetura), contribuyeron para que la teoría algebraica de números se consolidara como una rama importante de las matemáticas. Este trabajo consiste en estudiar algunos conceptos y resultados de la teoría de los enteros algebraicos. En el primer capítulo se retoman algunos conceptos y resultados clásicos sobre anillos y cuerpos, necesarios para el buen entendimiento de lo expuesto en los siguientes dos capítulos. En el segundo capítulo se prueba que los enteros de un cuerpo L sobre un anillo R, es decir, aquellos elementos en L que son raíz de un polinomio mónico en R[X] forman un anillo en el que no necesariamente vale la factorización única. Sin embargo, se muestran algunos ejemplos de cuerpos numéricos, en los que su anillo de enteros es un dominio de factorización única, por ejemplo el anillo de los enteros de Gauss Z[i] y se usa este hecho para solucionar algunas ecuaciones diofánticas. En el tercer capítulo, se definen y caracterizan los dominios de Dedekind en términos de la factorización única de ideales y en estos términos, se prueba que el anillo de los enteros de un cuerpo es un dominio en el que todo ideal propio se expresa de manera única como producto de ideales primos