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Dinámica en hiperespacios de continuos

Resumen

Un sistema dinámico discreto es una pareja (X, f), donde X es un espacio métrico, compacto sin puntos aislados y f : X → X una función continua. Un punto x ∈ X se dice periódico si existe un entero positivo n, tal que f n(x) = x; Per(f) denota la familia de los puntos periódicos de f. Dado X un espacio métrico, compacto, conexo y no vacío, un hiperespacio de X es un subconjunto del conjunto P(X), al hiperespacio de todos los subconjuntos cerrados y no vacíos de X lo notaremos por 2 X, el cual lo dotaremos con la topología de Vietroris, topología que coincide con la topología generada por la métrica de Hausdorff. La función 2 f : 2X → 2 X, definida por 2 f (A) = A, para cada A ∈ 2 X, se llama la función inducida, además se conoce que si la función f : X → X es continua, entonces la función 2 f es continua. En el 2005, J. Banks en [4], demostró que para cualquier sistema dinámico se tiene que la densidad del conjunto Per(f), implica la densidad del conjunto Per(2f ); también Banks da un contraejemplo para mostrar que la afirmación reciproca no siempre es cierta. El propósito de este trabajo es estudiar cuando la densidad de Per(2f ) en el hiperespacio 2 X, implica la densidad de Per(f) en X, dándole condiciones al espacio X o a la función f : X → X. Nuestro trabajo está compuesto por tres capítulos: En el Capítulo 1 presentamos las definiciones y resultados que necesitaremos para desarrollar nuestro trabajo. El Capítulo 2 mostramos condiciones en el espacio o en la función para que la afirmación sea verdadera, también construiremos continuos donde la implicación no se da. Finalmente, en el Capítulo 3 mostraremos dos clases de familias: una de continuos tipo Knaster y otra de solenoides donde se construyen homeomorfismos para cada continuo donde la afirmación no es verdadera.