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Equicontinuidad en dendritas

Resumen

Un continuo es un espacio métrico compacto, conexo y no vacío. Una dendrita es un continuo de Peano (localmente conexo) que no contiene curvas cerradas simples. Dada una dendrita X y x ∈ X, se definen los conjuntos omega límite ω(x, f) = {y ∈ X : y es punto límite de la sucesión (f n(x))n∈N} y Ω(x, f) = {y ∈ X : existen sucesiones (xi) ⊆ X y (ni)i∈N ⊆ N con xi → x y f ni (xi) → y}. Asimismo, diremos que una función f : X → X es equicontinua si para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que si d(x, y) < δ, entonces d(f n(x), f n(y)) < ε para todo n ∈ N. En este trabajo daremos algunas condiciones necesarias para la continuidad de la función ωf : X → 2 X, definida por ωf (x) = ω(x, f), en el contexto de las dendritas. También, se mostrarán algunas propiedades con respecto a la equicontinuidad en dendritas. En el Capitulo 1, se darán algunos conceptos relacionados con sistemas dinámicos discretos y las propiedades más relevantes sobre las dendritas que se usarán posteriormente. En el Capítulo 2 veremos que, en una dendrita, la continuidad de ωf implica que el conjunto de puntos periódicos, Per(f), sea conexo, que el conjunto de puntos recurrentes, R(f), sea un continuo y que además, R(f) = Per(f); siendo estos los principales resultados de este capítulo. Finalmente, en el Capítulo 3, se enuncian algunos teoremas que dan condiciones necesarias y suficientes para que una función f definida en una dendrita sea equicontinua