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Análisis teórico y numérico de un modelo matemático con quimioatracción que describe el crecimiento de los glioblastomas cerebrales

Resumen

En esta tesis de maestría se desarrollan, en primer lugar, el análisis numérico de un sistema parabólico de PDE que describe la estructura de proliferación-invasión de células gliales hipóxicas en el cerebro. Explícitamente, se propone un esquema numérico completamente discreto, basado en una discretización de Euler semi-implícita en el tiempo y una discretización de Elementos Finitos (FE) en el espacio, para aproximar las soluciones del modelo continuo. Para este esquema numérico se demuestran algunas propiedades, incluida la buena posición, positividad, principio máximo, estimaciones uniformes, convergencia hacia soluciones débiles, estimaciones óptimas del error y comportamiento asintótico de las soluciones discretas. Finalmente, se presentan algunas simulaciones numéricas. En segundo lugar, se considera un modelo PDE bidimensional que describe la estructura de proliferación-invasión de células gliales hipóxicas en el cerebro en el que el movimiento celular está determinado no solo por la difusión natural sino también por el gradiente de concentración de oxígeno. Este modelo está dado por un sistema no lineal de segundo orden que involucra la densidad de células cancerosas y la concentración de oxígeno, los cuales están acoplados por un término de quimioatracción, una fuente de crecimiento logístico y un término de reacción de tipo Michaelis-Menten. La contribución de esta segunda parte al estado del arte se resume en los siguientes dos aspectos principales: primero,se demuestan la existencia y unicidad de las soluciones fuertes; y segundo, se propone una aproximación de elementos finitos (FE) completamente discreta no lineal para el modelo. Se prueba su buena postura, estimaciones uniformes, la positividad para la concentración discreta de oxígeno y la positividad aproximada para las células tumorales discretas, que se requieren en este modelo biológico. El punto clave para desarrollar el análisis numérico es controlar adecuadamente el término de quimiotaxis no lineal de segundo orden y obtener una estimación de energía discreta que, en particular, dé una energía acotada; que se hace mediante el uso de una técnica de regularización. Finalmente, se presentan algunas simulaciones numéricas que permiten validar los resultados teóricos obtenidos.