Ramificación, Bifurcación y Longitud del Sistema Vascular, visto desde las Ecuaciones de Navier-Stokes

Abstract

El presente trabajo se inscribe en el marco de la teoría de ecuaciones diferenciales aplicadas a la mecánica de fluidos, en particular, dentro de las ecuaciones de Navier–Stokes. El sistema de Navier-Stokes permite abordar el análisis de la ramificación y bifurcación de los vasos sanguíneos desde una perspectiva matemática, así como estudiar la optimización de los ángulos de ramificación y bifurcación en el sistema vascular. El objetivo principal de este trabajo consiste en disertar sobre los resultados expuestos por John A. Adam en Blood Vessel Branching Beyond the Standard Calculus Problem, Mathematics Magazine, Volume 84, number 3, (2011), 196-207, con el fin de profundizar en su comprensión y brindar una base conceptual más clara y accesible a una audiencia amplia, favoreciendo así la difusión y el aprovechamiento del conocimiento en estudios más avanzados. El primer capítulo desarrolla los fundamentos teóricos necesarios para el estudio, incluyendo algunos conceptos básicos de mecánica de fluidos, propiedades de los fluidos newtonianos y no newtonianos, así como herramientas analíticas y operadores diferenciales esenciales para la formulación del modelo matemático considerado. En el segundo capítulo se presenta la formulación general de las ecuaciones de Navier–Stokes para fluidos newtonianos y se analiza el flujo de Poiseuille. A partir de este modelo se obtienen relaciones explícitas entre velocidad, caudal y diferencia de presión, las cuales permiten analizar los ángulos óptimos de ramificación y bifurcación desde una perspectiva energética y geométrica. En el tercer capítulo se extiende el análisis a fluidos no newtonianos, incorporando modelos reológicos más realistas para la sangre. Se formulan las ecuaciones correspondientes, se generaliza el flujo de Poiseuille y se examinan el caudal, la caída de presión y los ángulos óptimos de ramificación y bifurcación.

Finalmente, con base en los resultados obtenidos, se analiza la longitud total del sistema vascular en grandes mamíferos y en el ser humano, estimando el número de vasos y capilares, así como el aumento promedio del área de una sección transversal en bifurcaciones arteriales.