El monoide inverso de Mobius

Abstract

Las transformaciones de Möbius se encuentran entre las funciones fundamentales de la geometría; sus aplicaciones van desde el mapeo cerebral, el procesamiento de imágenes y la criptografía hasta la Teoría de la Relatividad. Una transformación de Möbius es una biyección parcial sobre el plano complejo. El conjunto de las transformaciones de Möbius con la composición de funciones no forma un grupo, ya que la composición de transformaciones de Möbius no siempre es una transformación de Möbius. Aun así, el resultado de la composición de transformaciones de Möbius preserva varias propiedades de dichas transformaciones, por lo que el conjunto de las transformaciones de Möbius con sus composiciones finitas forma una estructura algebraica conocida como semigrupo inverso. En particular, a esta estructura se la conoce como el monoide inverso de Möbius. A partir de lo dicho, en este trabajo se muestra que las transformaciones de Möbius conjuntamente con la composición de funciones como operación, forman un monoide F-inverso para el cual su conjunto de elementos maximales forman un grupo que es isomorfo al grupo de Möbius. Además, se demuestra que el monoide inverso de Möbius puede ser inducido en el producto semidirecto entre un grupo por un semirretículo inferior. A partir de ello se describirá al monoide inverso de Möbius mediante triplas de McAlister como un subsemigrupo inverso del producto semidirecto entre el grupo de Möbius y el semirretículo inferior del conjunto de las restricciones de la función identidad sobre subconjuntos cofinitos del plano complejo