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La topología compacta abierta en los grupos de homeomorfismos.

Resumen

Un grupo topológico es un grupo dotado de una topología de tal manera que las operaciones del grupo, multiplicación e inversión, son continuas. En este trabajo nos enfocamos en H(X) el grupo de los autohomeomorfismos de X. Estudiamos la topología compacta abierta y diversos ejemplos de grupos de homeomorfismos con la topología producto que nos permiten concluir la relevancia de la topología compacta abierta en H(X), destacando el interesante contraejemplo que se da con el grupo de homeomorfismos del espacio de Cantor. En la primera parte, se proporciona la teoría necesaria de topología general, el concepto de grupo topológico y algunas representaciones usuales del espacio de Cantor y sus propiedades. En la segunda parte, definimos la topología compacta abierta que da estructura de grupo topológico al grupo de autohomeomorfismos de X cuando X es un espacio compacto de Hausdorff. Finalmente, exponemos los ejemplos que estudiamos, incluido el ejemplo de la Proposición 2.4.2 el cual se desarrolló de manera independiente y del que no sabemos si ya existía alguna referencia. Estos ejemplos nos permiten concluir por qué resulta más útil dotar a H(X) con la topología compacta abierta que con la topología producto, pues para X compacto de Hausdorff, con la primera obtenemos grupos topológicos mientras que con la topología producto eso no ocurre necesariamente.