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Sobre los productos simétricos en espacios métricos compactos

Abstract

Dado X un espacio métrico compacto, definimos el hiperespacio del n-ésimo producto simétrico de X como el conjunto de todos los subconjuntos no vacíos de X con a lo más n elementos, y el hiperespacio de los subconjuntos finitos de X como la unión de todos estos hiperespacios sobre todos los números naturales n, ambos dotados de la topología de Vietoris o, equivalentemente, de la topología inducida por la métrica de Hausdorff. En este trabajo estudiamos propiedades generales sobre estos hiperespacios, enfocándonos más en los resultados que responden a la siguiente pregunta: sea P una propiedad topológica. Si X tiene la propiedad P, ¿bajo qué condiciones el n-ésimo producto simétrico y el hiperespacio de subconjuntos finitos de X preservan la propiedad P? Recíprocamente, si el n-ésimo producto simétrico o el hiperespacio de subconjuntos finitos de X tienen la propiedad P, ¿cuándo X la tiene? Entre las propiedades que estudiamos se encuentran la compacidad, la dimensión topológica, diversas nociones de conexidad y la unicoherencia. Finalmente, presentamos una caracterización de aquellos productos simétricos que son homeomorfos al cono sobre algún continuo, cuando X es el cono sobre un conjunto totalmente disconexo.