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Existencia y caracterización de topologías maximales

Resumen

Es posible dotar de varias topologías a un conjunto. La colección de todas las topologías (sin puntos aislados) sobre un conjunto dado forma conjunto ordenado parcialmente por inclusión. Una topología maximal es un elemento maximal de esta colección. Este trabajo consiste principalmente en hacer un estudio de las topologías maximales. También se estudian algunos resultados sobre la complejidad de estas topologías. En el primer capítulo se hace un breve repaso sobre algunos conceptos relacionados con los espacios topológicos, filtros e ideales. En el segundo capítulo se da una caracterización de las topologías maximales, se prueba que un espacio sin puntos aislados es maximal si y sólo si es extremadamente disconexo, nodec y tal que todo subespacio abierto es irresoluble (se precisarán estos términos más adelante), entre otras equivalencias. Se muestra que una topología con la propiedad de ser maximal en la propiedad de regularidad no necesariamente es maximal. Por último se prueba la existencia de un espacio con topología maximal con la propiedad de regularidad. En el tercer capítulo presentamos un estudio de la complejidad de las topologías maximales sobre conjuntos numerables y otras topologías relacionadas. Se prueba que las topologías maximales no son analíticas, que los espacios extremadamente disconexos Hausdorff no son analíticos y que los espacios irresolubles T1 tampoco son analíticos. Por último, se muestra un ejemplo de un espacio nodec boreliano (y por tanto analítico).