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Algebra max-plus y una aplicacion a los cuadrados latinos

Resumen

El álgebra máx-plus se define sobre el conjunto Rε = R∪ {−∞} dotado con las operaciones a⊕b = max´ {a,b} y a ⊗ b = a + b, estas operaciones son asociativas, conmutativas y distributivas. En este conjunto, el elemento neutro es ε = −∞ y el elemento unidad es e = 0. Con estas operaciones, Rε tiene estructura de semianillo que además es idempotente respecto a ⊕. En el primer capítulo se introducen algunos resultados preliminares sobre la teoría de grafos. En el segundo capítulo se presentan conceptos básicos y se estudian algunas propiedades algebraicas que satisfacen las operaciones ⊕ y ⊗ en el conjunto Rε . Se definen las matrices y vectores, se estudia la relación que existe entre los grafos y las matrices ya que, toda matriz cuadrada puede ser representada mediante un grafo ponderado y los pesos de los caminos de dicho grafo pueden ser interpretados mediante las potencias de la matriz ya mencionada, finalmente se hallan los valores y vectores propios de una matriz cuadrada por medio de su grafo asociado y se muestra que toda matriz irreducible tiene valor propio único. En el capítulo tres se definen los cuadrados latinos, se muestran algunas propiedades que satisfacen en el álgebra máx-plus como que todo cuadrado latino es una matriz irreducible y se halla su único valor propio con sus respectivos vectores propios asociados.