Cálculo de una media geométrica en el cono de las matrices simétricas semidefinidas positivas

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dc.contributor.advisorMartínez Carrillo, Fabio
dc.contributor.advisorGalvis, Juan Carlos
dc.contributor.authorOlmos Rojas, Juan Andrés
dc.date.accessioned2024-03-04T00:46:18Z
dc.date.available2020
dc.date.available2024-03-04T00:46:18Z
dc.date.created2020
dc.date.issued2020
dc.description.abstractEn el área de la visión por computador, la descripción de videos a partir de matrices de covarianza ha sido usada como un descriptor compacto para el reconocimiento de acciones, esto pues un video puede ser descrito por la media de las matrices de covarianza que describen a cada una de las imágenes que componen el video. Las matrices de covarianza resultan ser matrices simétricas semi definidas positivas y regularizando pueden ser vistas como matrices simétricas definidas positivas (SPD), las cuales forman una variedad riemanniana. El problema geométrico es entonces encontrar una media en este espacio, este ha sido estudiado a partir de definir diferentes métricas y con ellas plantear diferentes algoritmos para el cálculo de la media. En este proyecto se desarrolla una descripción matemática de este espacio mediante definiciones, construcciones y ejemplos de baja dimensión para tener una noción más clara del problema y posteriormente llevarlo a la práctica. Además, se plantean dos algoritmos: usando autovalores generalizados y otro haciendo una descomposición de Cholesky, esto con el fin de poder comparar teórica y computacionalmente los diferentes algoritmos existentes y los nuestros en problemas reales. Utilizando un conjunto de datos públicos de reconocimiento de acciones, se compararon 4 algoritmos para el cálculo de la media junto a los dos propuestos. El algoritmo propuesto, con autovalores generalizados, logró una exactitud del 69.95 %. Además, en experimentos complementarios con generadores aleatorios de matrices SPD, se evidenció una convergencia más rápida para el algoritmo Log-Euclidean.
dc.description.abstractenglishIn the area of computer vision, the description of videos from covariance matrices has been used as a compact descriptor for the recognition of actions, this because a video can be described by the mean of the covariance matrices that describe each one of the frames of the video. The covariance matrices are symmetric positive semi-defined (SPD) matrices and regularizing can be seen as symmetric positive defined matrices (SPD), which form a Riemannian manifold: Sn ++. The problem then is a geometric problem of finding a mean in this space. This problem has been studied from the definition of different metrics and with them propose different algorithms for calculate the mean. In this project, the aim is then to develop a clear mathematical description of this space by definitions, constructions and low-dimensional examples, in order to have a clearer notion of the geometric problem in order to later put it into practice. In addition, algorithms were also proposed: using generalized eigenvalues and doing a Cholesky decomposition, this in order to be able to compare theoretically and computationally different existing algorithms and ours in real problems. Using a public data set of action recognition, with 60 videos and 6 actions, 4 algorithms for the calculation of the mean were compared with two algorithms proposed in this work. The proposed algorithm, with generalized eigenvalues, achieved an accuracy of 69.95 %. Furthermore, in complementary experiments with random covariance matrix generators, a faster convergence was evidenced for the Log-Euclidean algorithm. In general, all algorithms converge in a number of iterations ( 25 iterations) for the calculation of the mean, regardless the number of matrices.
dc.description.degreelevelPregrado
dc.description.degreenameMatemático
dc.format.mimetypeapplication/pdf
dc.identifier.instnameUniversidad Industrial de Santander
dc.identifier.reponameUniversidad Industrial de Santander
dc.identifier.repourlhttps://noesis.uis.edu.co
dc.identifier.urihttps://noesis.uis.edu.co/handle/20.500.14071/40453
dc.language.isospa
dc.publisherUniversidad Industrial de Santander
dc.publisher.facultyFacultad de Ciencias
dc.publisher.programMatemáticas
dc.publisher.schoolEscuela de Matemáticas
dc.rightshttp://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
dc.rights.accessrightsinfo:eu-repo/semantics/openAccess
dc.rights.creativecommonsAtribución-NoComercial-SinDerivadas 4.0 Internacional (CC BY-NC-ND 4.0)
dc.rights.licenseAttribution-NonCommercial 4.0 International (CC BY-NC 4.0)
dc.rights.urihttp://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0
dc.subjectReconocimiento De Acciones
dc.subjectMatrices De Covarianza
dc.subjectMatrices Simétricas Definidas Positivas
dc.subjectVariedad De Riemann
dc.subjectMedia Geométrica.
dc.subject.keywordAction Recognition
dc.subject.keywordCovariance Matrices
dc.subject.keywordPositive Definite Matrices
dc.subject.keywordRiemannian Manifold
dc.subject.keywordGeometric Mean.
dc.titleCálculo de una media geométrica en el cono de las matrices simétricas semidefinidas positivas
dc.title.englishGeometric means on the cone of symmetric positive semi-definite matrices
dc.type.coarhttp://purl.org/coar/version/c_b1a7d7d4d402bcce
dc.type.hasversionhttp://purl.org/coar/resource_type/c_7a1f
dc.type.localTesis/Trabajo de grado - Monografía - Pregrado
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Matemáticas