La métrica: Génesis de la topología de vecindades

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dc.contributor.advisorCamargo García, Javier Enrique
dc.contributor.authorOrtiz, Álvaro
dc.contributor.evaluatorUzcátegui Aylwin, Carlos Enrique
dc.contributor.evaluatorPérez León, Sergio Andrés
dc.date.accessioned2024-03-12T13:55:18Z
dc.date.available2024-03-12T13:55:18Z
dc.date.created2024-03-12
dc.date.issued2024-03-12
dc.description.abstractEn 1906, en su tesis doctoral, Fréchet introduce la noción abstracta de Espacio métrico. Esta definición estaba enfocada al estudio de convergencia y resulta un tanto imprecisa en términos de la matemática actual. Es por esto que la noción de espacio métrico como la conocemos hoy en día es atribuida a F. Hausdorff. En 1914, Hausdorff presenta la definición de espacio métrico con las ideas de los trabajos de Hilbert y Weyl, que a su vez da origen al concepto de “entorno”; objeto fundamental de la Topología general. Es por esto que personalidades como Bourbaki en su libro Topología general afirma: “con Hausdorff comienza la topología general como se la entiende actualmente.”(En [1], página 126 se lee: “Avec Hausdorff commence la topologie genérale telle qu’on l’entend aujourd’hui”.) La convergencia en espacios métricos es fundamental en el desarrollo del análisis. Además, la métrica determina el nivel de diferencia o lejanía entre objetos. Es por esto que el estudio de los espacios métricos es de gran importancia y determina una manera de estudiar la topología del espacio. En cursos básicos de topología general se estudia como la métrica induce naturalmente una colección de abiertos llamada topología, y que, distintas métricas pueden generar la misma topología teniendo propiedades diferentes en el contexto de los espacios métricos. Solo por dar un ejemplo las expresiones |x−y| y |x−y|1+|x−y| definen métricas que generan la misma topología en R, pero a diferencia de la primera, la segunda únicamente toma valores entre 0 y 1, esto es, es una métrica acotada. En nuestro trabajo investigaremos diferentes tipos de métricas que podemos definir sobre un conjunto. Haremos diferencias entre estas métricas tanto desde el punto de vista topológico, como en el contexto propio de los espacios métricos. Una propiedad “propia de los espacios métricos” es una propiedad que podría dañarse si cambiamos la métrica, sin alterar la topología. En este trabajo planteamos el problema de encontrar propiedades propias de la métrica, y esperamos que el lector se interese por el tema y pueda investigar nuevas propiedades y tal vez, sea un punto de partida para futuras investigaciones. Esta tesis la dividimos en dos capítulos: en el primer capítulo introducimos la definición de métrica, damos varios ejemplos, comparamos sus topologías y estudiamos algunas propiedades; en el segundo y último capítulo, estudiamos el Teorema de Heine-Borel y abordamos la noción de espacio métrico completo, estudiamos algunas propiedades de esta importante clase de espacios métricos y finalmente, presentamos las funciones uniformemente continuas, planteando algunas preguntas entorno a la influencia de la métrica en las funciones continuas.
dc.description.abstractenglishIn 1906, in his doctoral thesis, Fréchet introduced the abstract notion of metric space. This definition was focused on the study of convergence and is somewhat imprecise in terms of current mathematics. This is why the notion of metric space as we know it today is attributed to F. Hausdorff. In 1914, Hausdorff presented the definition of metric space with the ideas of the works of Hilbert and Weyl, which in turn gave rise to the concept of "environment"; fundamental object of general topology. This is why personalities such as Bourbaki in his book General Topology states: "with Hausdorff general topology begins as it is currently understood." (On [1], page 126 we read: "Avec Hausdorff commence la topologie genérale telle qu'on l'entend aujourd'hui.") Convergence in metric spaces is fundamental in the development of the analysis. In addition, the metric determines the level of difference or distance between objects. This is why the study of metric spaces is of great importance and determines a way to study the topology of space. In basic courses in general topology, you study how the metric naturally induces A collection of open spaces called a topology, and that different metrics can generate the same topology having different properties in the context of metric spaces. Just to give an example, the expressions |x−y| y |x−y|1+|x−y| they define metrics that generate the same topology in R, but unlike the former, the latter only takes values between 0 and 1, that is, it is a bounded metric. In our work we will investigate different types of metrics that we can define on a set. We will differentiate between these metrics both from a topological point of view and in the context of metric spaces. A "metric space" property is a property that could be corrupted if we change the metric, without altering the topology. In this paper we pose the problem of finding properties of the metric, and we hope that the reader will be interested in the subject and will be able to investigate new properties and perhaps, it will be a starting point for future research. This thesis is divided into two chapters: in the first chapter we introduce the definition of metrics, give several examples, compare their topologies and study some properties; In the second and last chapter, we study the Heine-Borel Theorem and address the notion of complete metric space, we study some properties of this important class of metric spaces and finally, we present uniformly continuous functions, raising some questions about the influence of metric on continuous functions.
dc.description.degreelevelPregrado
dc.description.degreenameMatemático
dc.format.mimetypeapplication/pdf
dc.identifier.instnameUniversidad Industrial de Santander
dc.identifier.reponameUniversidad Industrial de Santander
dc.identifier.repourlhttps://noesis.uis.edu.co
dc.identifier.urihttps://noesis.uis.edu.co/handle/20.500.14071/42253
dc.language.isospa
dc.publisherUniversidad Industrial de Santander
dc.publisher.facultyFacultad de Ciencias
dc.publisher.programMatemáticas
dc.publisher.schoolEscuela de Matemáticas
dc.rightsinfo:eu-repo/semantics/openAccess
dc.rights.accessrightsinfo:eu-repo/semantics/openAccess
dc.rights.coarhttp://purl.org/coar/access_right/c_abf2
dc.rights.creativecommonsAtribución-NoComercial-SinDerivadas 4.0 Internacional (CC BY-NC-ND 4.0)
dc.rights.licenseAtribución-NoComercial-SinDerivadas 2.5 Colombia (CC BY-NC-ND 2.5 CO)
dc.rights.urihttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
dc.subjectFréchet
dc.subjectTopología
dc.subject.keywordFréchet
dc.subject.keywordTopology
dc.titleLa métrica: Génesis de la topología de vecindades
dc.type.coarhttp://purl.org/coar/resource_type/c_7a1f
dc.type.hasversionhttp://purl.org/coar/version/c_b1a7d7d4d402bcce
dc.type.localTesis/Trabajo de grado - Monografía - Pregrado
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Matemáticas