Teorema de Gauss-Bonnet: fundamentos, demostración y aplicaciones

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dc.contributor.advisorJulio Batalla, Jurgen Alfredo
dc.contributor.authorDominguez Alvarado, Samuel Felipe
dc.contributor.evaluatorRodriguez Cardenas, Carlos Wilson
dc.contributor.evaluatorGranados Pinzón, Claudia Inés
dc.date.accessioned2025-08-22T12:59:51Z
dc.date.available2025-08-22T12:59:51Z
dc.date.created2025-08-19
dc.date.issued2025-08-19
dc.description.abstractEste trabajo está dedicado al estudio del Teorema de Gauss-Bonnet y su relación entre geometría y topología. Para ello, se introducen primero las herramientas matemáticas necesarias, asegurando que el texto sea autocontenido y accesible para quienes no estén familiarizados con el tema. Se inicia con una exposición del álgebra exterior, presentando los elementos y operaciones fundamentales que se utilizarán más adelante. Luego, se estudian las propiedades de curvas y superficies, poniendo énfasis en la curvatura y en cómo esta influye en la estructura geométrica de una superficie. Se destacan resultados importantes que permiten entender la interacción entre la curvatura y las propiedades globales del espacio. A partir de estos conceptos, se formula el Teorema de Gauss-Bonnet. Se muestra cómo este resultado proporciona una conexión profunda entre la geometría local y la topología de una superficie, estableciendo que la curvatura integrada sobre una región está directamente relacionada con su estructura topológica. Se presentan las demostraciones correspondientes, resaltando la intuición detrás del teorema y su relevancia en geometría diferencial. El trabajo concluye con una exploración de aplicaciones tanto de la fórmula como del teorema. Se analiza cómo la fórmula se emplea para demostrar resultados en superficies bidimensionales, y se examinan las implicaciones del teorema en la clasificación de superficies, permitiendo extraer conclusiones sobre su curvatura y estructura topológica. A través de estos ejemplos, se evidencia la amplitud y la utilidad del Teorema de Gauss-Bonnet en distintos contextos matemáticos.
dc.description.abstractenglishThis work is dedicated to the study of the Gauss-Bonnet Theorem and its relationship between geometry and topology. To achieve this, the necessary mathematical tools are first introduced, ensuring that the text is self-contained and accessible to those unfamiliar with the topic. It begins with an exposition of exterior algebra, presenting the fundamental elements and operations that will be used later. Then, the properties of curves and surfaces are studied, with an emphasis on curvature and how it influences the geometric structure of a surface. Important results are highlighted, providing insight into the interaction between curvature and the global properties of space. Building on these concepts, the Gauss-Bonnet Theorem is formulated. This result establishes a deep connection between the local geometry and the topology of a surface, showing that the integrated curvature over a region is directly related to its topological structure. The corresponding proofs are presented, emphasizing the intuition behind the theorem and its significance in differential geometry. The work concludes with an exploration of applications of both the formula and the theorem. The formula is analyzed in its role in proving results for two-dimensional surfaces, while the theorem’s implications in surface classification are examined, allowing conclusions to be drawn about curvature and topological structure. Through these examples, the breadth and utility of the Gauss-Bonnet Theorem in various mathematical contexts are demonstrated.
dc.description.degreelevelPregrado
dc.description.degreenameMatemático
dc.format.mimetypeapplication/pdf
dc.identifier.instnameUniversidad Industrial de Santander
dc.identifier.reponameUniversidad Industrial de Santander
dc.identifier.repourlhttps://noesis.uis.edu.co
dc.identifier.urihttps://noesis.uis.edu.co/handle/20.500.14071/45958
dc.language.isospa
dc.publisherUniversidad Industrial de Santander
dc.publisher.facultyFacultad de Ciencias
dc.publisher.programMatemáticas
dc.publisher.schoolEscuela de Matemáticas
dc.rightsinfo:eu-repo/semantics/openAccess
dc.rights.accessrightsinfo:eu-repo/semantics/openAccess
dc.rights.coarhttp://purl.org/coar/access_right/c_abf2
dc.rights.creativecommonsAtribución-NoComercial-SinDerivadas 4.0 Internacional (CC BY-NC-ND 4.0)
dc.rights.licenseAtribución-NoComercial-SinDerivadas 2.5 Colombia (CC BY-NC-ND 2.5 CO)
dc.rights.urihttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
dc.subjectCURVAS
dc.subjectSUPERFICIES
dc.subjectCURVATURA
dc.subjectCARACTERÍSTICA DE EULER
dc.subjectALGEBRA EXTERIOR
dc.subject.keywordCURVES
dc.subject.keywordSURFACES
dc.subject.keywordCURVATURE
dc.subject.keywordEULER CHARACTERISTIC
dc.subject.keywordEXTERIOR ALGEBRA
dc.titleTeorema de Gauss-Bonnet: fundamentos, demostración y aplicaciones
dc.title.englishGauss-Bonnet theorem: foundations, proof, and applicanti
dc.type.coarhttp://purl.org/coar/resource_type/c_7a1f
dc.type.hasversionhttp://purl.org/coar/version/c_b1a7d7d4d402bcce
dc.type.localTesis/Trabajo de grado - Monografía - Pregrado
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Matemáticas