Sobre la estructura de los dominios euclidianos
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Date
2024-08-02
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Universidad Industrial de Santander
Abstract
Los dominios euclidianos son una clase de dominios enteros que se estudiaron por primera vez en el contexto de la teoría de números y posteriormente se generalizaron en la teoría de anillos, dicha estructura algebraica nace del querer generalizar el algoritmo de la división de los números enteros a otro tipo de conjuntos, como lo son los anillos y los cuerpos.
El concepto de dominio euclidiano fue introducido por primera vez por el matemático alemán Ernst Eduard Kummer en el siglo XIX, en sus estudios sobre los números ideales. Sin embargo, la formalización moderna del concepto, tal y como se entiende hoy en día, se atribuye al matemático alemán David Hilbert a finales del siglo XIX y principios del XX, en sus trabajos sobre la teoría algebraica de los números y en su famoso libro «Zahlbericht» publicado en 1897.
Keith Conrad muestra dos formas de definir un dominio euclidiano, la primera es un dominio entero (anillo conmutativo con unidad y sin divisores de cero) en el cual existe una función (comunmente llamada función euclidea) d la cual cumple dos propiedades:
1) 0 <= d(a) <= d(ab) para todo a y b distintos de cero en el anillo.
2) Para todo a y b en el anillo con b distinto de 0, es posible encontrar q y r en el anillo tal que a=bq+r, donde r=0 o d(r)<d(b).
La primera condición se conoce como la d-desigualad y la segunda condición es la definición de división con resto, Conrad da una segunda definición en la cual solo aparece la divisón con resto y menciona que es la definición usual de dominio euclidiano, sin embargo, para la primera definición, se dice que es un dominio euclidiano que posee una función euclidea que satisface la d-desigualdad.
En este trabajo de grado se estudiará la estructura de dominio euclidiano y se buscará obtener algunas propiedades de esta estructura sobre anillos cuadráticos.
Description
Keywords
Anillo, Estructura, Dominio euclidiano, División con resto