Los hiperespacios de subcontinuos regulares y subcontinuos magros

Abstract

Un continuo es un espacio métrico compacto, conexo y no vacío. Un subcontinuo es un continuo contenido en algún espacio métrico. La colección de todos los subcontinuos de un continuo X dotada de la métrica de Hausdorff, se denota C(X). Un subcontinuo A de un continuo X se dice que es magro si Int(A)= ∅; y es llamado regular si Cl(Int(A))=A. Recientemente, el profesor Norberto Ordóñez en los artículos "The hyperspace of regular subcontinua", de 2018, y "The hyperspace of meager subcontinua", de 2020, definió y estudió los hiperespacios D(X) y M(X), formados por los subcontinuos regulares de X y los subcontinuos magros de X, respectivamenre. En este trabajo presentamos algunos resultados obtenidos por Ordóñez acerca de la compacidad, conexidad y densidad de estos hiperespacios. También se encuentran resultados originales que amplían el conocimiento de propiedades topológicas de D(X) y M(X). Obtenemos la complejidad boreliana de D(X) verificando que es un conjunto Π⁰₃ de C(X). Mostramos que el hiperespacio D(X) nunca es infinito discreto. Y damos un ejemplo de un continuo no contráctil tal que su hiperespacio de M(X) es contráctil, respondiendo negativamente a una pregunta planteada por el profesor Ordóñez.