Invariantes topológicos en MHD y superconductividad
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Date
2022-11-10
Authors
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Publisher
Universidad Industrial de Santander
Abstract
En este proyecto de grado estudiamos los invariantes topológicos de la magnetohidrodinámica ideal, las ecuaciones de Euler; y encontramos una aplicación de éstos a las ecuaciones de London.
Para el estudio de los invariantes topológicos en mecánica de fluidos, nos basamos en los arrastres de Lie. Con éstos, construimos objetos geométricos conservados; prestando especial atención a aquellos con características topológicas. Con base a éstos, construimos un invariante integral llamado helicidad magnética para MHD, y helicidad cinética para las ecuaciones de Euler. Mostramos que la helicidad tiene un significado en términos de un número de linking asintótico, y que acota la energía. Adicionalmente argumentamos el porqué esto último es un resultado esperado en teorías de campos con características relativamente generales.
Además de esto, recreamos el resultado de Kruskal en el que se halla la característica de Euler de la superficie de un plasma en equilibrio. También, con base a los arrastres de Lie, construimos una geometrización de las ecuaciones de fluidos en 3-variedades, donde el grupo de difeomorfismos que conserva el volumen surge naturalmente. Esto, al imponer que la helicidad sea invariante a la escogencia de la métrica. Con ello, justificamos el uso de este grupo, de una manera alternativa a la de Arnold. Así mismo, mostramos que el equilibrio MHD es consecuencia de extremar la energía magnética bajo el grupo mencionado anteriormente.
En lo que respecta a superconductividad, usamos este grupo de difeomorfimos que conserva la forma de volumen para demostrar que las ecuaciones de London 2-D corresponden a un extremo de la energía electromagnética; al variar sobre este grupo. Con ello, conectamos los métodos topológicos en hidrodinámica, con las ecuaciones de London.
Description
Keywords
Topología, Magnetohidrodinámica, Ecuaciones de Euler, Equilibrio MHD, Helicidad, Invariantes topológicos, Ecuaciones de London