La densidad de los puntos periódicos de una función f y su función inducida 2f

Abstract

Un sistema din´amico es una pareja (X, f), donde X es un espacio m´etrico compacto y f : X → X es una funci´on continua. Todo sistema din´amico induce un nuevo sistema din´amico, conocido como sistema din´amico inducido (2X, 2 f ), donde 2X es el hiperespacio asociado a X y 2f : 2X → 2 X es una funci´on continua que env´ıa compactos en compactos de la siguiente manera. Sea A ∈ 2 X, entonces 2f (A) = f(A). Dado un sistema din´amico (X, f), P er(f) es el conjunto de todos los puntos peri´odicos de X bajo f, es decir, para un x ∈ P er(f) existe un k ∈ N, tal que, k es el menor entero que cumple que f k (x) = x, donde f k quiere decir f compuesta k − veces consigo misma. Dado un sistema din´amico (X, f), si el conjunto P er(f) es denso en X, el sistema din´amico inducido (2X, 2 f ), tambi´en tendr´a dicha propiedad, esto quiere decir que P er(2f ) = 2X, este se conoce como el teorema de Banks el cual se analizar´a en este estudio. El rec´ıproco del teorema de Banks no es cierto en todos los casos, por lo tanto el objetivo de este trabajo es analizar detalladamente varios ejemplos de sistemas din´amicos donde la densidad de P er(2f ) no implica la densidad de P er(f), es decir sistemas din´amicos (X, f) que no tienen el conjunto P er(f) denso, pero que el sistema din´amico inducido (2X, 2 f ) si tiene dicha propiedad.