Maestría en Matemática Aplicada
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Browsing Maestría en Matemática Aplicada by browse.metadata.advisor "Rueda Gómez, Diego Armando"
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Item Análisis matemático de un modelo de haptotaxis para invasión tumoral(Universidad Industrial de Santander, 2021) Niño Celis, Viviana; Villamizar Roa, Elder Jesús; Rueda Gómez, Diego ArmandoSe estudia un modelo matemático para la invasión tumoral en un dominio acotado d-dimensional, d < 3.Este modelo consiste en un sistema de ecuaciones diferenciales que describen la evolución de la densidad de las célulascancerígenas, la densidad de las proteínas de la matriz extracelular y la concentración de enzimas degradantes. Seplantean y se analizan dos esquemas totalmente discretos para aproximar las soluciones, basados en una discretizaciónde Euler semi-implítica en el tiempo y una discretización por elementos finitos en el espacio. Para el primer esquemanumérico se introduce una nueva variable dada por el gradiente de la matriz extracelular, permitiendo tratar el términode haptotaxis presente en la ecuación de la densidad de células cancerígenas. Este esquema está bien planteado yconserva la no negatividad de la matriz extracelular y la enzima degradante; se realiza un análisis de error para esteesquema de aproximación numérica. El segundo esquema numérico se plantea a través de un cambio variable en laecuación de densidad de las células cancerígenas. Este segundo esquema numérico está bien planteado y preservala no negatividad de todas las variables discretas. Finalmente, se realizan algunas simulaciones numéricas que son consistentes con los resultados obtenidos en el análisis teórico.Item Análisis matemático de un modelo de haptotaxis para invasión tumoral(Universidad Industrial de Santander, 2021) Niño Celis, Viviana; Rueda Gómez, Diego Armando; Villamizar Roa, Elder Jesús; Cabrales, Roberto Carlos; Lora Clavijo, Fabio DuvánSe estudia un modelo matemático para la invasión tumoral en un dominio acotado d-dimensional, d _x0014_3. Este modelo consiste en un sistema de ecuaciones diferenciales que describen la evolución de la densidad de las células cancerígenas, la densidad de las proteínas de la matriz extracelular y la concentración de enzimas degradantes. Se plantean y se analizan dos esquemas totalmente discretos para aproximar las soluciones, basados en una discretización de Euler semi-implítica en el tiempo y una discretización por elementos finitos en el espacio. Para el primer esquema numérico se introduce una nueva variable dada por el gradiente de la matriz extracelular, permitiendo tratar el término de haptotaxis presente en la ecuación de la densidad de células cancerígenas. Este esquema está bien planteado y conserva la no negatividad de la matriz extracelular y la enzima degradante; se realiza un análisis de error para este esquema de aproximación numérica. El segundo esquema numérico se plantea a través de un cambio variable en la ecuación de densidad de las células cancerígenas. Este segundo esquema numérico está bien planteado y preserva la no negatividad de todas las variables discretas. Finalmente, se realizan algunas simulaciones numéricas que son consistentes con los resultados obtenidos en el análisis teórico.Item Análisis teórico y numérico de EDP con difusión cruzada describiendo dinámicas poblacionales en fluidos(Universidad Industrial de Santander, 2022-09-15) Beltrán Larrotta, Carlos Mateo; Rueda Gómez, Diego Armando; Villamizar Roa, Élder Jesús; Rodríguez Bellido, María Ángeles; Perez Lopez, Jhean EleisonEste trabajo está dedicado al análisis teórico y numérico de un modelo de quimiotaxis-Navier-Stokes considerando dos especies de organismos con una dinámica competitiva descrita por términos de competencia del tipo Lotka-Volterra en un dominio acotado de Rd , d = 2, 3. Primero, estudiamos la existencia de soluciones débiles globales y establecemos un criterio de regularidad que proporciona condiciones suficientes para asegurar la regularidad fuerte de las soluciones débiles. Luego, proponemos un esquema numérico basado en el método de elementos finitos en el que usamos una técnica tipo splitting obtenida introduciendo una variable auxiliar dada por el gradiente de la concentración química y aplicando una estrategia inductiva, para tratar los términos de quimioatracción en las ecuaciones de las dos especies de organismos y probar estimaciones de error óptimas. Para este esquema, estudiamos el buen planteamiento y obtuvimos algunas estimaciones uniformes para las variables discretas requeridas en el análisis de convergencia. Finalmente, presentamos algunas simulaciones numéricas orientadas en comprobar el buen comportamiento de nuestro esquema, así como para comprobar numéricamente las estimaciones de error óptimas probadas en nuestro análisis teórico.Item Análisis teórico y numérico de un modelo matemático con quimioatracción que describe el crecimiento de los glioblastomas cerebrales(Universidad Industrial de Santander, 2023-03-01) López Agredo, Jorge Leonardo; Villamizar Roa, Élder Jesús; Rueda Gómez, Diego Armando; Guillén González, Francisco Manuel; Pérez López, Jhean EleisonEn esta tesis de maestría se desarrollan, en primer lugar, el análisis numérico de un sistema parabólico de PDE que describe la estructura de proliferación-invasión de células gliales hipóxicas en el cerebro. Explícitamente, se propone un esquema numérico completamente discreto, basado en una discretización de Euler semi-implícita en el tiempo y una discretización de Elementos Finitos (FE) en el espacio, para aproximar las soluciones del modelo continuo. Para este esquema numérico se demuestran algunas propiedades, incluida la buena posición, positividad, principio máximo, estimaciones uniformes, convergencia hacia soluciones débiles, estimaciones óptimas del error y comportamiento asintótico de las soluciones discretas. Finalmente, se presentan algunas simulaciones numéricas. En segundo lugar, se considera un modelo PDE bidimensional que describe la estructura de proliferación-invasión de células gliales hipóxicas en el cerebro en el que el movimiento celular está determinado no solo por la difusión natural sino también por el gradiente de concentración de oxígeno. Este modelo está dado por un sistema no lineal de segundo orden que involucra la densidad de células cancerosas y la concentración de oxígeno, los cuales están acoplados por un término de quimioatracción, una fuente de crecimiento logístico y un término de reacción de tipo Michaelis-Menten. La contribución de esta segunda parte al estado del arte se resume en los siguientes dos aspectos principales: primero,se demuestan la existencia y unicidad de las soluciones fuertes; y segundo, se propone una aproximación de elementos finitos (FE) completamente discreta no lineal para el modelo. Se prueba su buena postura, estimaciones uniformes, la positividad para la concentración discreta de oxígeno y la positividad aproximada para las células tumorales discretas, que se requieren en este modelo biológico. El punto clave para desarrollar el análisis numérico es controlar adecuadamente el término de quimiotaxis no lineal de segundo orden y obtener una estimación de energía discreta que, en particular, dé una energía acotada; que se hace mediante el uso de una técnica de regularización. Finalmente, se presentan algunas simulaciones numéricas que permiten validar los resultados teóricos obtenidos.Item Estudio teórico y numérico de un modelo de quimiotaxis doble en fluidos(Universidad Industrial de Santander, 2022-09-12) Jiménez Jerez, Sergio Andrés; Pérez López, Jhean Eleison; Rueda Gómez, Diego Armando; Villamizar Roa, Élder Jesús; de Freitas Ferreira, Lucas CatãoEn este trabajo se estudia teórica y numéricamente un modelo matemático con doble término de quimiotaxis, acoplado con las ecuaciones de Navier-Stokes. Para la parte teórica, considerando todo el espacio RN con N ≥ 2, se usan nuevas estimativas producto para demostrar la existencia y unicidad de solución blanda para datos pequeños en espacios críticos de Besov-Herz débiles; también se trabaja la autosimilaridad y el comportamiento asintótico de las soluciones. Para la parte numérica, se considera un dominio acotado de R2, sobre el cual se aplica el método de reciprocidad dual (MRD) para aproximar, inicialmente, las ecuaciones de Navier-Stokes, y posteriormente, el modelo de quimiotaxis doble en fluidos.