Maestría en Matemáticas
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Browsing Maestría en Matemáticas by browse.metadata.evaluator "Isaacs Giraldo, Rafael Fernando"
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Item Conjuntos omega límite en clases de continuos(Universidad Industrial de Santander, 2021) Cancino Rey, Johan Camilo; Camargo García, Javier Enrique; Isaacs Giraldo, Rafael Fernando; Maya Escudero, DavidDados un espacio métrico compacto y f : X → X una función continua definida sobre X, es común llamar sistema dinámico discreto al par (X, f ). Para un punto x ∈ X, se definen sus conjuntos omega límite como ω(x, f ) = {y ∈ X : y es punto límite de la sucesión ( f n(x))n∈N} y Ω(x, f ) = {y ∈ X : existen sucesiones (xi)i∈N ⊆ X y (ni)i∈N ⊆N con xi→x y f ni (xi)→y}, los cuales nos permiten definir de forma natural las funciones omega límite ωf ,Ωf : X →2X . En este trabajo estudiaremos propiedades de los conjuntos omega límite y las funciones omega límite en ciertas clases de continuos, como continuos de tipo lambda, dendritas, dendroides o continuos atriódicos. Iniciaremos presentando los conceptos más relevantes de teoría de continuos y sistemas dinámicos discretos que se usarán a lo largo del trabajo. Luego, abordaremos los continuos de tipo λ, y presentaremos la noción de función que preserva fibras, que será esencial al estudiar algunas propiedades dinámicas en esta clase continuos. Posteriormente, consideramos los puntos no errantes y su relación con el conjunto Ω(x, f ); en esta parte se mostrará por ejemplo que la función Ωf siempre es semicontinua superior. Seguidamente se presentarán algunas generalizaciones de resultados conocidos previamente, y para finalizar se estudiarán los continuos atriódicos y ciertas propiedades dinámicas que involucran los conjuntos omega limite, puntos periódicos, puntos recurrentes y el concepto de equicontinuidad.Item Reconstrucción de coloraciones a partir de sus conjuntos homogéneos(Universidad Industrial de Santander, 2023-02-14) Gamboa Higuera, Diego Fernando; Uzcátegui Aylwin, Carlos Enrique; Isaacs Giraldo, Rafael Fernando; Di Prisco de Venanzi, Carlos AugustoSea φ una coloración en dos colores de los pares de elementos de un conjunto X numerable. Esto es, una partición de X[2] en dos conjuntos. En 1, fue definido el problema de reconstrucción de coloraciones a partir de sus conjuntos homogéneos. Este trabajo contiene una continuación de la investigación en dicho artículo y hemos logrado responder algunas de las preguntas formuladas allí. En primer lugar, definimos el concepto de coloraciones fuertemente reconstruibles y mostramos que es una instancia más especializada del concepto de coloraciones reconstruibles. En segundo lugar, pero de mayor importancia es el trabajo que se presenta en el Capítulo 3 de esta tesis. Allí, estudiamos la función r, definida en 1 de la siguiente manera, r(φ) = {|A| : A ̸ = ∅, A induce una reconstrucción de φ}, la cual toma valores en los números naturales, o puede ser infinita. Demostramos que si X es infinito, los únicos valores posibles para r(φ) son 1, 4 o א0. La demostración de esta afirmación es el principal resultado que se obtuvo en esta investigación, ver Teorema (3.15). Primero fueron establecidos varios resultados auxiliares dentro de los cuales se destaca el Teorema (3.13) que dice que dada una coloración φ : X[2] → 2 sobre un conjunto infinito X, si A (que induce una reconstrucción de φ) contiene tres aristas que forman un triángulo (a, b, b, c, a, c ∈ A) entonces |A| = א0. Bajo las condiciones requeridas para el teorema principal, las coloraciones que satisfacen r(φ) = 1 o r(φ) = 4 corresponden exactamente con coloraciones que poseen ciertas subestructuras conocidas como pares críticos y ciclos críticos, respectivamente. Por otra parte, en el Capítulo 4, examinamos la estructura interna de colecciones de coloraciones que comparten la lista de conjuntos homogéneos. Estos son unos primeros pasos para establecer un nuevo enfoque con el cual estudiar el problema de reconstrucción de coloraciones.