Maestría en Matemáticas

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Ecuaciones diferenciales difusas
(Universidad Industrial de Santander, 2010) González Calderón, William; Arenas Díaz, Gilberto; Villamizar Roa, Elder Jesus
Muchos trabajos sobre ecuaciones diferenciales difusas han sido elaborados en los últimos años, tanto en el campo teórico como en el aplicado. El tema principal de esta tesis es el problema de valor inicial (PVI) asociado a una ecuación diferencial ordinaria de primer orden en el contexto difuso. En particular, se analizan las implicaciones que tiene la diferenciabilidad sobre la existencia de soluciones de PVI en el contexto difuso. Se introduce una nueva noción de diferenciabilidad difusa que llamamos α-derivada, la cual generaliza resultados sobre existencia y unicidad de PVI publicados previamente. Se estudia el método de las inclusiones diferenciales como una herramienta para resolver PVI difusos. El presente trabajo ha sido organizado de la siguiente manera. En un primer capítulo, presentamos los aspectos básicos de la teoría de los conjuntos difusos y fundamentos del análisis multívoco difuso. En un segundo capítulo, hacemos una disertación profunda y exhaustiva del artículo “Fuzzy differential equations" elaborado por Osmo Kaleva en 1987. El tercer capítulo trata principalmente sobre las implicaciones de la α-derivada en el problema de valor inicial en el contexto difuso. El contenido del tercer capítulo se basa en el artículo “A note on the Cauchy problem of fuzzy differential equations". Este capítulo constituye nuestro principal aporte a la teoría de las ecuaciones diferenciales difusas. El cuarto capítulo trata sobre la teoría de las inclusiones diferenciales; recopilamos los principales resultados sobre este tema y presentamos algunos ejemplos.
Diferenciabilidad de multifunciones y aplicaciones en el contexto difuso
(Universidad Industrial de Santander, 2010) Reatiga Villamizar, Alexander; Arenas Díaz, Gilberto; Villamizar Roa, Elder Jesus
En este trabajo de grado de Maestría en Matemáticas, se presenta inicialmente una revisión bibliográfica respecto al cálculo de multifunciones y multifunciones difusas; en particular se da una revisión de la teoría preliminar de espacios de conjuntos difusos, continuidad y diferenciabilidad de multifunciones, medibilidad e integrabilidad de multifunciones; y posteriormente, se hace un análisis más exhaustivo relativo a la diferenciabilidad de multifunciones y diferenciabilidad de multifunciones difusas. La presentación de la temática en este trabajo, se da respetando el orden cronológico en el cual han aparecido los resultados relativos a este tema de investigación. En cuanto al caso de diferenciabilidad de multifunciones, se exponen las ideas presentadas en un principio por M. Hukuhara [14], H. T. Banks 8. M. Q. Jacobs (2], F. S. de Blasi [5], y trabajos más recientes como los de A-G. M. Ibrahim [15] y B. Bede 4 S. G. Gal [3]. Respecto a la diferenciabilidad de las multifunciones difusas, se ha hecho una revisión de los trabajos presentados por M. Puri 8 D. Ralescu [27], O. Kaleva [16] [17], Seikkala [35], C. Wu 8 S. Song é. E. Stanley Lee [42], B. Bede 8 S. G. Gal [4] y recientemente por Román-Flores 8. Rojas-Medar [33]. Retomando las ideas presentadas por L. Stefanini 8 B. Bede y L. Stefanini [87], sobre la diferencia generalizada de Hukuhara y la diferenciabilidad de multifunciones del tipo F : T — $", siendo F la clase de conjuntos difusos definidos sobre R que son normales, convexos, semicontinuos superiores y con soporte compacto; se hace un aporte a esta teoría al introducir una nueva definición de diferenciabilidad para multifunciones difusas del tipo F : T — $”. La nueva definición de diferenciabilidad se logra gracias a algunas propiedades interesantes que tiene la diferencia generalizada de Hukuhara. De igual forma se demuestra que esta nueva definición de diferenciabilidad de multifunciones difusas, generaliza algunas definiciones existentes en la literatura, como son las definiciones que aparecen en [36] [8]. También se utiliza esta nueva definición de diferenciabilidad para mostrar la existencia de solución al problema de Cauchy en el contexto difuso. Finalmente se hacen sugerencias para posibles trabajos futuros donde tendría aplicación esta noción de diferenciabilidad, resaltando de esta manera la importancia de ella. Estos aspectos constituyen el aporte novedoso de esta tesis de Maestría.
Funciones de censo de lenguajes libre del contexto
(Universidad Industrial de Santander, 2011) Zambrano Fernández, Luis Eduardo; Montoya Arguello, Juan Andrés
En este trabajo, estudiamos algunos de los resultados más relevantes acerca de las funciones de censo de los lenguajes libres del contexto y usamos estos resultados para resolver dos problemas de conteo delgado (tally counting problems) cuando son restringidos a grillas rectangulares de altura fija. Estos problemas surgen de la tomografía discreta y la mecánica estadística. Nuestras soluciones se basan en el método de Schützenberger-Bertoni, una importante técnica de conteo que permite reducir varios problemas de conteo al cálculo de las funciones de censo de ciertos lenguajes formales. La complejidad de calcular la función de censo de lenguajes libres del contexto está estrechamente relacionada con la ambigüedad del lenguaje. Para lenguajes regulares, existen algoritmos de tiempo lineal que permiten calcularla, para lenguajes libres del contexto no ambiguos, existen algoritmos en paralelo que permiten calcularla en tiempo polilogarítmico, sin embargo, para lenguajes libres del contexto ambiguos no se conocen algoritmos determinísticos de tiempo polinomial que permitan calcular su función de censo, solo se conocen esquemas de aproximación aleatorios completamente polinomiales que permiten aproximarla. Nuestro principal aporte consiste en reducir el problema de conteo de poliominoes en grillas rectangulares de altura fija al cálculo de la función de censo de un lenguaje libre del contexto determinístico y reducir el problema de conteo de caminos que se auto-evitan en grillas rectangulares de altura fija al cálculo de la función de censo de un lenguaje regular.
Estructuras casi complejas afines
(Universidad Industrial de Santander, 2011) Vina Álvarez, Olga Rocío; Pinzón Duran, Sofia
Sea F = G/C(S) una variedad bandera, donde G es un grupo de Lie complejo semi-simple y C(S) es el centralizador de un toro S. Cuando S es un toro maximal decimos que la variedad bandera es maximal, y la denotamos con F. Equivalentemente F = U/T', donde U es una forma real compacta de G y T' es el centralizador de un toro. En este trabajo, estudiamos las estructuras casi Hermitianas U-— invariantes en variedades bandera maximales, con el objetivo de encontrar condiciones geométricas para que estas estructuras sean (1, 2) admisibles; para ello fue necesario considerar unos conjuntos denominados alcobas. Luiz A.B. San Martín y Caio J.C. Negreiros muestran en su artículo Invariant almost Hermitian structures on flag manifolds, estos resultados. En esta tesis se realiza un estudio y explicitación a pro- fundidad de los mismos. Para cada alcoba A asociamos una estructura casi compleja invariante J(4), llamada afín y mostramos que esta admite una métrica Riemanniana invariante A, que hace que el par (.J, A) sea (1, 2) —simpléctico. Recíprocamente, se demuestra que el par (J, A) es (1, 2) —simpléctico, entonces .J es afín, para ello se presenta a J en forma de ideal abeliano. Se finaliza esta tesis presentando una fórmula que relaciona dos ideales abelianos diferentes representando la misma clase de equivalencia.
F-estructuras en variedades bandera
(Universidad Industrial de Santander, 2011) Ardila Amado, Gladys Patricia; Pinzón Duran, Sofia
El objetivo de este trabajo es hacer una extensión de la condición de variedad (1,2)-simpléctica al caso en que una f-estructura FF es considerada sobre una variedad bandera maximal F, dotada de una métrica invariante. Una f-estructura F es un endomorfismo del espacio tangente en un punto de una variedad, el cual satisface que F + F = (. Este estudio fue motivado por la relación que existe entre una f-variedad (1,2)-simpléctica y la existencia de aplicaciones armónicas mediante aplicaciones holomorfas. Inicialmente son presentados algunos conceptos preliminares que permiten adentrarse en el lenguaje de los grupos y álgebras de Lie y de las variedades bandera. Se estudia también la relación entre estructuras casi-complejas y torneos. Posteriormente es considerado el caso especial de la variedad bandera maximal F(n) asociada al álgebra de Lie sl(n, C) y se da una descripción completa de las f-estructuras invariantes (1,2)-admisibles, analizando los casos F(2), F(3) y F(4), las f-estructuras localmente transitivas, los digrafos completamente no transitivos y por último se estudia el caso de la variedad bandera general, para concluir: una f-estructura invariante F sobre F(n) es localmente transitiva si, y solamente si, ella es (1,2)-admisible, esto es, existe una métrica dsí tal que (F(n), A, F) es (1,2)-simpléctica. Por último se muestran las características (subálgebra de Cartan y sistema simple de raíces) del álgebra de Lie semisimple de dimensión finita B,. También se considera la variedad bandera maximal asociada a las álgebras de Lie de rango menor o igual a tres, con una métrica y una f-estructura invariante, se demuestra la equivalencia entre localmente transitiva y (1,2)-simpléctica para los casos mencionados demostrando caso por caso.
Pilas de arena y grafos de ramanujan
(Universidad Industrial de Santander, 2011) Castaneda Jaimes, Sterling; Montoya Arguello, Juan Andrés
El Modelo Abeliano de Pila de Arena y los Grafos de Ramanujan son los protagonistas de esta historia. El Modelo de Pila de Arena o modelo BTW, (introducido por los físicos Per Bak, Chao Tang y Kurt Wiesenfeld en 1988), es un sistema dinámico disipativo discreto definido sobre un grafo en el que hay intercambio de información entre los vértices del grafo. Decimos que un grafo G es óptimo para el Modelo de Pila de Arena si y sólo si la dinámica del modelo se estabiliza rápidamente. En este trabajo se estudia el comportamiento asintótico del Modelo Abeliano de Pilas de Arena sobre grafos de alta conectividad. Centramos nuestra atención en grafos de Ramanujan. Nosotros conjeturábamos que el proceso de estabilización es veloz (eficiente) sobre clases de grafos de Ramanujan, esto es: conjeturábamos que sobre esta clase de grafos las avalanchas eran mucho más cortas. La mejor cota superior para la longitud de avalanchas críticas sobre grafos generales es la cota de Tardos, la cual estipula que las avalanchas tienen una longitud acotada por O(n³), donde n es el número de vértices del grafo, siendo esta cota óptima. Nosotros probamos que sobre grafos de Ramanujan, las avalanchas críticas tienen una longitud acotada por O(n1,5).
Problemas algorítmicos asociados al modelo Abeliano pilas de arena
(Universidad Industrial de Santander, 2011) Montoya Torres, Sergio Andrés; Montoya Arguello, Juan Andrés
El modelo abeliano pilas de arena es un sistema dinámico discreto (un autómata celular) el cual podría llegar a representar fenómenos de la naturaleza cuya dinámica es disipativa. El modelo abeliano pilas de arena puede ser definido y estudiado sobre grafos arbitrarios pero el caso que más interés ha despertado es el de las grillas unidimiensionales, bidimensionales y tridimensionales, dado que estas son los modelos canónicos discretos del espacio euclidiano. Parte del interés que suscita el modelo se debe a que este parece exhibir la propiedad de auto-organización crítica, la cual estipula que el sistema converge espontáneamente a estados críticos. Este trabajo es en general un estudio de la complejidad computacional de algunos problemas algorítmicos asociados al modelo abeliano pilas de arena y está compuesto por cinco capítulos; en el primero se define el modelo y se muestran algunas características importantes acerca de éste mismo, en el segundo capítulo se introducen algunos problemas algorítmicos, en particular, el problema de la predicción SPP (sandpile prediction problem) y se muestra que los demás problemas son reducibles a tal problema. En los capítulos posteriores se estudia la restricción del modelo a las grillas de dimensión 1,2 y 3, mostrando los resultados más importantes referentes a la complejidad computacional de los problemas algorítmicos introducidos en el capítulo 2, en particular, como uno de los resultados de este trabajo, se exhibe un algoritmo en el capítulo 4 que proporciona una conjetura acerca de un problema abierto que aún se mantiene en dimensión 2 y que está estrechamente relacionado con el problema de la predicción.
Relaciones entre sistemas iterados de funciones y sistemas dinámicos discretos
(Universidad Industrial de Santander, 2012) Espitia Morillo, Cristian Camilo; Sabogal Pedraza, Sonia Marleni
Este trabajo se enmarca en las áreas de Geometria Fractal y Sistemas Dinámicos Discretos, en particular se trata el caso de dos sistemas de construcción fractal, estos son: Sistemas Iterados de Funciones y Sistemas Dinamice Discretes, a lo largo de esta exposición se muestra que los sistemas mencionados son en cierta forma "Duales", es decir a partir de un método de construe- ción se puede obtener el otro y viceversa (esta dualidad se presenta bajo ciertas exadiciones, las cuales están consignadas en el trabajo). En el presente trabajo se consideran tres grandes capitulos: en el capitulo 1 se dan algunas definiciites y resultados iniciales los cuales serán de utilidad en el desarrollo de los siguientes capituks, en el capitulo 2 se aborda el caso de obtener Sistemas Iterados de Funciones a partir de Sistemas Dinámicos Discretos y en el capitulo 3 se considera el caso de obtención de Sistemas Dinámicos Discretos a partir de Sistemas Iterados de Funciones, cada uno de estos capituks contiene algunos ejemplos ilustrativos tanto de Ins definiciones como de los resultados los cuales facilitan la lectura, por último se exponen algunas Conclusiones las cuales pretenden resumir lo abordado en cada capitulo y además se menciona un problema abierta, el cual puede ser motivo de una futura investigación
Continuos g-contraibles
(Universidad Industrial de Santander, 2012) Rincón Villamizar, Michael Alexander; Camargo García, Javier Enrique
Un continuo es un espacio métrico, compacto, conexo y diferente del vacío. Un continuo es contraíble si la función identidad es homotópica a una función constante. Claramente, un intervalo compacto, una n-celda (espacio homeomorfo a [0, 1]”) o cualquier subconjunto compacto y convexo de un espacio normado son ejemplos de continuos contraíbles. Por otro lado, el continuo S no es contraíble. Un continuo X es g-contraíble o contraíble generalizado si existe una función f: X => X continua, sobreyectiva y homotópica a una función constante. Los continuos y-contraíbles fueron introducidos por el Profesor David Bellamy en [2]. Claramente todo continuo contraíble es g-contraíble. No es difícil ver que cualquier continuo localmente conexo es g-contraíble. En particular, el continuo 5? es un continuo g-contraíble que no es contraíble. El propósito de este trabajo es estudiar los continuos g-contraíbles. Nuestro trabajo consta de tres capítulos: en el Capítulo 1 introducimos la terminología y notación que se usará en este trabajo. En el Capítulo 2 estudiamos los continuos y-contraíbles. En este capítulo presentamos nuevos resultados y ejemplos. Construiremos una familia no numerable de continuos uniformemente conexos por caminos (ver Definición 2.27) tal que ningún elemento de esta familia es y-contraíble. Finalmente, en el Capítulo 3 estudiamos la y-contractibilidad en los hiperespacios de continuos (ver Definición 1.40). Probaremos que para un continuo X, el hiperespacio F,, (X) es imagen y preimagen continua del cono sobre el conjunto de Cantor si y sólo si X también lo es. Como en el Capítulo 2, construiremos una familia de continuos uniformemente conexos por caminos tal que el hiperespacio de subcontinuos de cada miembro de esta familia no es g-contraíble.
Generalizaciones de sistemas iterados de funciones
(Universidad Industrial de Santander, 2012) Méndez Espinel, Alexander; Sabogal Pedraza, Sonia Marleni
La propuesta de este trabajo es presentar resultados análogos al bien conocido caso de un sistema iterado de funciones con un número finito de contracciones pero generalizando el número de contracciones, el espacio en el que se definen y el tipo de noción de contracción. Las siguientes son las generalizaciones que se consideran: sistemas iterados de funciones con un número infinito de contracciones en un espacio métrico completo así como en un espacio métrico compacto, sistemas iterados de funciones con un número finito e infinito contracciones generalizadas: E-contracciones y p-contracciones. Se muestran algunos teoremas de punto fijo y las interrelaciones que existen entre as contracciones, E-contracciones y g-contracciones. Para cada sistema iterado de funciones generalizado se demuestra la existencia y la unicidad del punto fijo del operador de Hutchinson-Barnsley asociado a este. Además se prueba que los atractores de los sistemas con infinitas contracciones e infinitas contracciones generalizadas se pueden aproximar mediante los atractores de sistemas iterados de funciones finitos apropiadamente escogidos en términos de la distancia Hausdorff. Se muestran ejemplos de conjuntos que no se pueden obtener como el punto fijo de sistemas iterados de funciones con un nmñero finito de contracciones pero si cuando se consideran sistemas con un nmñero infinito de ellas.
Medidas difusas
(Universidad Industrial de Santander, 2012) Ramírez Lamus, Edgar Rene; Arenas Díaz, Gilberto
En los últimos años, la teoría de medidas difusas e integrales difusas se han convertido en una rama de la matemática que ha captado un gran interés de investigación; es por eso, que el propósito de este trabajo de Maestría en Matemáticas es el estudio de dichos conceptos. Los conceptos de medida difusa e integral difusa fueron introducidos por Michio Sugeno en los años setenta del siglo pasado intentando dar un enfoque diferente a la generalización del concepto de medida clásica. La principal característica de las medidas clásicas es la propiedad o-aditividad. Aunque dicha propiedad puede ser muy efectiva y conveniente en ciertas aplicaciones, como la estadísticas y la economía, también puede resultar demasiado inflexible y rígida en otros contextos, como por ejemplo, la inteligencia artificial, las redes neuronales, el procesamiento de imágenes, entre otros, en los cuales es útil definir medidas no aditivas (medidas difusas). Las medidas difusas se caracterizan por la debilitación de la propiedad v-aditiva de las medidas clásicas, la cual se puede sustituir por una condición más débil conocida como la monotonía. Mientras que una integral difusa se caracteriza por ser la integral respecto a una medida difusa. El desarrollo de este trabajo se realiza de la siguiente manera: En el primer capítulo se hace un estudio de las medidas difusas. Se inicia estudiando el concepto de medida difusa y algunas de sus propiedades, posteriormente se hace una clasificación de las medidas difusas según la propiedad aditiva y la A-medida, seguidamente se definen las propiedades estructurales de las medidas difusas, se analizan las interrelaciones entre ellas y se dan algunos ejemplos. El segundo capítulo está dedicado a las integrales difusas: la integral de Sugeno y la integral de Choquet. Después de hacer una breve descripción de sus propiedades, se realiza un estudio sobre la extensión de los principales teoremas de convergencia de la teoría de integración clásica al contexto de las integrales difusas. Se realiza también una comparación entre las integrales difusas de Sugeno y Choquet utilizando el concepto de función equiordenada. En el tercer capítulo se presentan dos ejemplos interesantes donde se usan las medidas e integrales difusas; para finalizar se describen algunos fenómenos donde son utilizadas las medidas difusas y las integrales difusas.
Variedades bandera asociadas a algebras de lie de tipo ci
(Universidad Industrial de Santander, 2012) Pérez Martínez, Elizabeth; Pinzón Duran, Sofia
Sea una variedad bandera dotada de una métrica A y una f -estructura F. Se dice que la f—estructura F es (1,2)-admisible, si existe una métrica A tal que la f-variedad (F, F, A) sea (1, 2) —simpléctica. Una variedad bandera es un espacio homogéneo G/C(S), en el que G es un grupo de Lie complejo y C(S) es el centralizador de un toro no necesariamente maximal. Cuando S es maximal se dice que la variedad bandera F es maximal. En el caso de la variedad bandera maximal clásica F(n) se especifican los resultados hallados por Sofía Pinzón en los que se estudiaron las condiciones necesarias y suficientes para que la variedad bandera maximal, dotada de una f—estructura y una métrica invariante ds%, sea (1, 2)-simpléctica, teniendo en cuenta que estas variedades bandera corresponden a las asociadas a álgebras de Lie semisimples de rango menor ó igual a tres. Estudiamos los teoremas y definiciones que caracterizan una variedad bandera maximal, caracterizamos los sistemas de raíces, la base de weyl, las f-estructuras, la métrica invariante, la conexión riemanniana y la forma de Kahlér. Analizamos el álgebra de Lie semisimple finita de tipo C1, la representación de una subálgebra de Cartan, y finalmente hallamos las f—estructuras y las métricas invariantes que es posible definir en las variedades bandera maximales asociadas al álgebra de Lie Cy, de forma tal que una variedad (TF, F, A) sea (1,2) -simpléctica.
Funciones inducidas confluentes entre hiperespacios de contínuos
(Universidad Industrial de Santander, 2012) Prada Marín, Duwamg Alexis; Camargo García, Javier Enrique
El estudio de las funciones continuas, en ciertas áreas de las matemáticas, es de gran importancia, pues son una herramienta que nos permite comparar las propiedades entre espacios. La métrica, la conexidad y la compacidad en un espacio no vacío, son propiedades muy estudiadas en topología, en particular, en la teoría de continuos e hiperespacios de continuos. En la actualidad un continuo es un espacio métrico, compacto, conexo y diferente del vacío. El profesor Januzs J. Charatonik observó que las funciones continuas, sobreyectivas y abiertas entre continuos tienen la propiedad que cada componente de la imagen inversa de un subcontinuo del recorrido es transformada bajo la función de manera sobreyectiva en el continuo. La clase de funciones continuas que tienen esta propiedad consiste de las lamadas funciones confluentes. Otras clases de funciones continuas entre continuos que 1an sido estudiadas son, por ejemplo, las funciones monótonas, semiconfluentes, débilmente confluentes, empalmantes y seudo confluentes. A comienzos del siglo XX tiene sus inicios a teoría de hiperespacios. Dado un continuo X, un hiperespacio de este continuo es una familia de subconjuntos de X que satisfacen una propiedad particular, como ser cerrado no vacío, ser a la vez un continuo, tener cierta cantidad de elementos o cierta cantidad de comonentes, entre otras. Los hiperespacios que presentan alguna de estas condiciones también son continuos. Además de estudiar las propiedades de los hiperespacios, también estudiamos funciones continuas entre ellos. Dada una función continua entre continuos, es posible definir funciones entre los hiperespacios de dichos continuos, llamadas funciones inducidas. El objetivo principal de esta tesis es estudiar las relaciones existentes entre las funciones entre continuos y las funciones inducidas, dadas por las clases de funciones continuas mencionadas con anterioridad.
Estudio cualitativo del sistema de davey-stewartson con dato inicial singular
(Universidad Industrial de Santander, 2012) Pérez López, Jhean Eleison; Villamizar Roa, Elder Jesús
El sistema de Davey-Stewartson (DS) es una generalización a 2 dimensiones de la ecuación de schródinger cúbica unidimensional ¿0,u + Au = |u|? u, y modela la evolución de ondas de agua débilmente no lineales que viajan predominantemente en una dirección, pero en las cuales la amplitud de onda es modulada lentamente en dos direcciones horizontales. El sistema fue propuesto inicialmente por Davey y Stewartson en [9] y en forma adimensional se escribe como 10,u +007u + Ou = xulul? + yud,v (1,y) ER”, teR, Ozv + m0jv = 0, (Ju|?) (1,y) ER?, teR, (1) u(z, y, 0) =uo(x, y), donde u(«x,y,t) representa la amplitud (compleja) y v(x, y,t) representa la velocidad media potencial (real). Los parámetros J, x, y y m son reales y pueden asumir ambos signos. En este trabajo se considera una generalización del sistema DS, y se demuestran resultados de existencia y unicidad de "mild-solutions" en espacios de Lorentz L”-(R”), así como la exis- tencia de soluciones auto-similares. Se estudia también el comportamiento asintótico de las soluciones globales, y se presentan resultados de scattering, scattering inverso, y estabilidad asintótica. Todos los resultados aquí mostrados son novedosos para el sistema y constituyen el aporte central de este trabajo de tesis. Estos resultados se encuentran publicados en el artículo [24].
La complejidad computacional de contar polímeros
(Universidad Industrial de Santander, 2013) Gutiérrez Lizarazo, Francisco Javier; Isaacs Giraldo, Rafael Fernando
La teoría de la computación es el estudio de aquellos problemas que pueden ser resueltos algorítmicamente. Pero aunque podamos resolver un problema algorítmicamente esto no garantiza que podamos conocer su solución en un tiempo razonable para todas las instancias de dicho problema. La Complejidad Computacional se encarga de responder cuáles problemas son computacionalmente tratables y cuáles no, clasificándolos en lo que se conocen como clases de complejidad. Para los problemas de conteo algunas de estas son las clases FP, AP y F¿P-completos. En este trabajo estudiaremos la complejidad computacional de algunos problemas de conteo entre los que se destacan el conteo de emparejamientos perfectos en grafos planos, el de emparejamientos en general y el de caminos que se auto evitan, que están relacionados con dos modelos de la Mecánica Estadística: El modelo monómero-dímero y el modelo SAW de la termodinámica de polímeros. Mostraremos que contar los árboles generadores de un grafo conexo y los matchings perfectos en grafos planos es computacionalmente tratable gracias al ingenioso teorema de Kasteleyn, y que contar matchings y caminos que se auto evitan son problemas en la clase computacional de los problemas ¿4¿P-completos. Evidencia suficiente para creer que estos dos problemas son computacionalmente intratables. Después de esto estudiaremos dos algoritmos de aproximación probabilística que nos permitirá aproximar la solución de dichos problemas, para finalizar con el estudio de dos subproblemas tratables acerca de caminos que se auto evitan utilizando el método de Shutzenberger: el problema de contar caminos sin descenso en el retículo bidimensional y el problema de contar caminos hamiltonianos en retículos rectangulares de altura fija.
Ecuaciones diferenciales difusas y Aplicaciones en teoría de control
(Universidad Industrial de Santander, 2013) Angulo Castillo, Vladimir; Villamizar Roa, Elder Jesús
Durante los últimos años, la teoría de las ecuaciones diferenciales difusas (EDD) y con ellos, los problemas de valor inicial asociados a las EDD, han tenido un sorprendente desarrolló debido en gran parte a su importancia en el modelado de sistemas dinámicos con datos que poseen cierto grado de imprecisión o incertidumbre, resolviendo de esta manera, varios inconvenientes que se presentan en el modelado matemático a través de la teoría clásica de ecuaciones diferenciales ordinarias. Su desarrolló ha tomado diferentes direcciones teóricas, y un gran número de aplicaciones en diferentes problemas reales ha sido considerado (ver por ejemplo [3, 5, 7, 12, 16, 23, 27, 30, 31, 32]). El presente trabajo lo hemos organizado de la siguiente manera. En el primer capítulo, presentamos los preliminares básicos sobre algunos de los diferentes tipos de derivadas difusas que han surgido y sobre algunos conceptos y propiedades de los espacios F” y C(J, FF"). En el segundo capítulo, presentamos algunos de los resultados recientes de punto fijo de funciones débilmente contractivas monótonas y generalizaciones, definidas sobre conjuntos parcialmente ordenados, y con ellos, probamos algunos resultados de punto fijo, los cuáles constituirán una herramienta importante para el estudio de PVID. En el tercer capítulo, primero recopilamos algunos de los resultados más destacados sobre la existencia y unicidad de soluciones a PVID usando H-derivada y GH-derivada y luego probamos algunos resultados sobre existencia y unicidad de solución a un PVID usando gH-derivada y teoremas de punto fijo dados en el Capítulo 2. Finalmente, en el cuarto capítulo, mostramos algunos resultados que obtuvimos sobre existencia y unicidad de solución a un EDD con retardo finito, y también, estudiamos los PVID de una ecuación integro-diferencial con control. Estos resultados constituyen el aporte novedoso de este trabajo.
Funciones entre continuos que preservan conexidad
(Universidad Industrial de Santander, 2013) Pérez León, Sergio Andrés; Camargo García, Javier Enrique
Un continuo es un espacio métrico, compacto, conexo y diferente del vacío. Sean X y continuos, y sea f: X > Y una función. Diremos que: 1. f es una función de conectividad si para todo conexo C' € X, se tiene que T'(f|c) es conexa. 2. f es una función de conectividad local si existe una cubierta abierta (U. aer de X tal que fl, es una función de conectividad para todo a € A. 3. f es una función conexa si I(f) es conexa. 4. f es una función de Darboux si f(C') es conexo para todo conexo C' € X. 5. f es una función casi continua si para todo abierto N de X Y con T(f) € N, existe una función continua y: X > Y tal que T(g) € N. El propósito de este trabajo es estudiar algunas propiedades con respecto a las familias de funciones anteriormente definidas. Nuestro trabajo está compuesto por cuatro capítulos: En el Capítulo 1 presentamos las definiciones y resultados que necesitaremos para desarrollar nuestro trabajo. El Capítulo 2 está dividido en dos secciones. En la primera sección mostramos las definiciones y propiedades de las familias de funciones definidas en un principio. Además, exhibimos teoremas que muestran las relaciones que se tienen de manera general entre estas funciones. En el Capítulo 3 estudiamos la propiedades de composición y de factor para las familias de funciones anteriormente mencionadas. Finalmente, en el Capítulo 4 estudiamos las relaciones que existen entre las funciones f, C(f) y 2.
Transitividad en funciones inducidas en hiperespacios de continuos
(Universidad Industrial de Santander, 2014) García Salcedo, Cristian Giovani; Camargo García, Javier Enrique
Sean X un espacio métrico compacto y f : X → X una función continua. Diremos que f es transitiva si, para cada U y V abiertos de X diferentes de vacío, existe m ∈ N tal que f m(U) ∩ V ̸= ∅. Sean f : X → X una función continua definida en un espacio métrico compacto X y n ∈ N. Las funciones inducidas Cn(f): Cn(X) → Cn(X), 2 f : 2X → 2 X y Fn(f): Fn(X) → Fn(X) están definidas, respectivamente, por Cn(f)(A) = f(A), para toda A ∈ Cn(X), 2 f (A) = f(A), para toda A ∈ 2 X, Fn(X) = f(A), para toda A ∈ Fn(X). El propósito de este trabajo es estudiar la transitividad topológica de las funciones inducidas Cn(f): Cn(X) → Cn(X), 2 f : 2X → 2 X y Fn(f): Fn(X) → Fn(X). Este trabajo está dividido en cuatro capítulos: En el Capítulo 1 presentamos algunas definiciones y resultados que necesitaremos para desarrollar este trabajo. En el Capítulo 2 se definen las funciones transitivas y se dan las herramientas para estudiar la transitividad de una función continua. En la última sección de este capítulo se estudian algunos ejemplos importantes. En el Capítulo 3 se definen las funciones inducidas y se estudian las relaciones entre las funciones f : X → X, Cn(f): Cn(X) → Cn(X), 2 f : 2X → 2 X y Fn(f): Fn(X) → Fn(X). En el Capítulo 4 mostramos algunos casos particulares donde la función inducida Cn(f) no es transitiva, para ninguna n ∈ N.
Limites inversos generalizados de continuos
(Universidad Industrial de Santander, 2015) Jaimes Jaimes, Pedro Nel; Camargo García, Javier Enrique
Un continuo es un espacio métrico, compacto, conexo y diferente del vacío. Dado X un espacio métrico y compacto, definimos el conjunto 2 X = {A ⊂ X| A es compacto y A 6= ∅}. Sean X e Y continuos y F : X → 2 Y una función. Decimos que F es semicontinua superiormente en un punto p de X, si para cada abierto V de Y tal que F(p) ⊂ V , existe un abierto U de X tal que p ∈ U y F(x) ⊂ V para cada x ∈ U. Diremos que F es semicontinua superiormente si lo es en cada punto de X. Sean (Xi , fi)∞ i=1 una sucesión inversa, donde fi : Xi+1 → 2 Xi es una función semicontinua superiormente para cada i ∈ N. Entonces, definimos el límite inverso generalizado de la sucesión inversa (Xi , fi)∞ i=1 como: lím←−(Xi , fi)∞ i=1 = {(xi)∞ i=1 ∈ Q∞ i=1 Xi : xi ∈ fi(xi+1) para cada i ∈ N} . El espacio lím←−(Xi , fi)∞ i=1 lo consideramos como subespacio del espacio producto Q∞ i=1 Xi . Además, no es difícil demostrar que lím←−(Xi , fi)∞ i=1 es compacto. El propósito de este trabajo es estudiar propiedades de los límites inversos generalizados de continuos. Nuestro trabajo está compuesto por cuatro capítulos: En el Capítulo 1 presentamos las definiciones y resultados que necesitaremos para desarrollar nuestro trabajo. El Capítulo 2 mostramos las condiciones suficientes para que el límite inverso generalizado sea conexo. En el Capítulo 3 estudiamos características de la dimensión de continuos obtenidos a partir de límites inversos generalizados. Finalmente, en el Capítulo 4 estudiamos límites inversos generalizados de una familia de funciones semicontinuas superiormente definidas sobre el intervalo [0, 1].
Celdas en hiperespacios de continuos
(Universidad Industrial de Santander, 2016) Herrera Villamizar, Daniel Armando; Camargo García, Javier Enrique
Se conocen modelos de hiperespacios para diferentes continuos que nos permiten conocerlos totalmente en cuanto a sus propiedades topológicas y geométricas. Sin embargo para la mayoría de continuos no es posible dar modelos geométricos a sus hiperespacios y por esta razón debemos encontrar maneras alternativas para describir propiedades de estos hiperespacios. Un problema curioso e interesante que nos ayuda a entender la geometría de los hiperespacios, es identificar celdas en estos hiperespacios. Es conocido que el hiperespacio 2 X de un continuo X, siempre contiene un cubo de Hilbert. Además, 2 X es un cubo de Hilbert si y sólo si X es un continuo localmente conexo. Tenemos que C(X) contiene n−celdas si y sólo si X contiene n−odos, para algún n ∈ N. De manera más general, Cn(X) es un cubo de Hilbert si y sólo si X es un continuo localmente conexo sin arcos libres. Además, con estas ideas, no es difícil probar que si X contiene un subcontinuo descomponible, entonces Cn(X) contiene una (n + 1) −celda, para cada n ∈ N. En este trabajo, mostramos que el recíproco del resultado anterior también es válido y de esta manera damos una respuesta afirmativa a la pregunta; “¿Dado un continuo X. Si Cn(X) contiene (n + 1) −celdas, para algún n ∈ N, entonces X contiene un subcontinuo descomponible?”. Este trabajo está dividido en tres capítulos. En el Capítulo 1 mostramos algunas definiciones y resultados de los continuos y sus hiperespacios. Comenzamos el Capítulo 2 mostrando modelos geométricos para el hiperespacio C(X) de ciertos continuos seguido de algunos resultados obtenidos previamente que nos permiten determinar n−celdas en los hiperespacios 2 X y C(X). En el Capítulo 3 mostramos algunos resultados obtenidos sobre n−celdas en el hiperespacio Cn(X), y por último presentamos nuestros resultados.

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