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Estudio de un problema diferencial modelando separación de fases

Resumen

La ecuación de Allen-Cahn es una EDP de reacción-difusión que describe el proceso de separación de fases en sistemas de aleaciones de varios componentes. Debido a sus variadas aplicaciones científicas, el estudio (tanto teórico como numérico) de este modelo ha sido el foco de interés de diversos investigadores en los últimos años. El presente trabajo se enfoca en el estudio matemático del modelo de Allen-Cahn. Por un lado, en lo que respecta al análisis teórico del modelo, se estudia la existencia de soluciones débiles usando el método de aproximaciones de Galerkin. Por otro lado, en lo que respecta al análisis numérico, se estudian tres esquemas de segundo orden en tiempo para aproximar numéricamente el modelo de Allen-Cahn, dos de los cuales son no lineales y uno es lineal. Se estudian dos métodos de Newton (cada uno de ellos asociado a uno de los esquemas no lineales estudiados), y se estudia su buen planteamiento y convergencia. Finalmente, se presentan los resultados de algunas simulaciones numéricas realizadas para ilustrar la dinámica de separación de fases descrita por el modelo de Allen-Cahn.