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Metodo variacionales y el modelo de keller-segel estacionario

Resumen

El sistema de Keller-Segel es un modelo de quimiotaxis que físicamente modela la interacción entre un tipo de organismos y un químico. Este modelo es descrito por medio de un sistema de ecuaciones diferenciales parciales con incógnitas u y v, que representan la concentración de células y la concentración de químico, respectivamente. Más específicamente, se considera el modelo D1∆u − χ∇ · (u∇φ(v)) = 0 en Ω, D2∆v − av + bu = 0 en Ω, ∂u ∂ν = ∂v ∂ν = 0 sobre ∂Ω. El objetivo de este trabajo es demostrar la existencia de soluciones físicamente consistentes para este modelo, esto es, soluciones clásicas positivas y no constantes. Para ello, tomando la función φ(v) = v, se tiene que la primera ecuación se cumple si u verifica la relación u = cepv, así, de la segunda ecuación vemos que el sistema es reducido a una única ecuación en términos de v. Para resolver dicha ecuación tratamos un problema más general, el cual está asociado con el funcional J(u) = 1 2 _x0012_ 2 Z Ω |∇u| 2 dx + c Z Ω u 2 dx_x0013_ − Z Ω H(u)dx. Es mostrado que obtener soluciones del problema diferencial es equivalente a mostrar la existencia de puntos críticos de dicho funcional, para ello se hace uso del Teorema del paso de la montaña. Finalmente, de la teoría de los operadores elípticos concluimos que dichos puntos críticos son no negativos y no constantes.